Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

ГЛАВА VI

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ

§1 . Общие замечания. Напомним, что арифметиче­

ская функция — это комплекснозначная функция, опреде­ ленная на множестве положительных целых чисел. Мно­ гие из арифметических функций, которые будут нами рассмотрены, являются целозначными.

Арифметическая функция f называется мультиплика­ тивной, если (i) f не равняется тождественно нулю и

В качестве примера такой функции можно привести функцию Эйлера ф, введенную в гл. II. Мы показали, что она мультипликативна и что ф (ра) = р а (1 — Up) для любого простого р и положительного целого числа а.

Многие арифметические функции ведут себя крайне нерегулярно, и поэтому часто более интересным пред­ ставляется изучение сумматорной функции арифметиче­ ской функции /, а именно

т = х ; / и ,

л* 1

а не самой функции f(n) .

Некоторые из рассматриваемых нами арифметических функций имеют простую геометрическую интерпретацию. С их помощью можно подсчитать число целых точек в некоторых областях, т. е. число точек л-мерного евкли­

определяется как число представлений целого л^ 1 в ви­

де суммы двух квадратов; другими словами, значение г(п) равно числу решений уравнения х2-\-у2= п в целых числах х и у. Решения, отличающиеся друг от друга зна­ ком или порядком, считаются различными. Так, г( 1) = 4

п — простое число вида 4 6 + 3 . С другой стороны, из тео­ ремы 6 гл. III следует, что таких простых бесконечно много. Таким образом, г ( п ) = 0 для бесконечного мно­ жества значений п, и так как г(п) ^ 0 , то

lim г(п) = 0 .

нако более интересным представляется изучение (не­ сколько измененной) сумматорной функции

N

R(N) = £ r(n), r(0) = l,

n = J

Геометрически R(N) представляет собой число целых точек внутри и на границе круга x2-\-y2^.N. Ясно, что величина R{N) приближенно равна площади этого круга.

Теорема 1. (Гаусс). R(N) = я М + 0 (1 N).

Доказательство. Целые точки на плоскости являются вершинами квадратов единичной площади. Каждой точ­ ке с целыми координатами, лежащей внутри или на гра­ нице круга x2-\-y2^.N, мы можем поставить в соответст­ вие некоторый такой квадрат, взяв, например, за ука­ занную точку его «юго-западный» угол. Тогда R(N) будет равно сумме площадей этих квадратов.

Некоторые из квадратов не полностью лежат внутри круга; с другой стороны, некоторая часть круга не по­

R (N) < я [У Н Н 1 /2 )2.

ло таких степеней, которые не превосходят В. Тогда С не зависит от п и е. Для множителей f(p“f ) в разложе­ нии (4), соответствующих этим степеням, мы можем применить неравенство (i); следовательно, их произве­ дение по абсолютной величине будет меньше чем Ас. Ос­ тавшиеся множители f(n) в силу (ii) по абсолютной ве­ личине меньше 1.

Далее, имеется только конечное множество целых чи­ сел вида р“ , которые не превосходят N (е). Следователь­ но, существует только конечное число целых, канониче­ ское разложение которых состоит только из множителей

вида р“, где p“ ^ iV (e). Пусть Р(е) — верхняя граница таких целых чисел.

Если мы возьмем п > Р (е ), то каноническое разложе­ ние числа п должно содержать по меньшей мере один

сомножитель ра > Я ( е ) и мы можем применить тогда неравенство (iii), а именно |/(ра)| < е .