Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 78

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

152 Г л. X. Теорема Дирихле

Для заданного

е > 0

мы имеем

|г„|<е при

п '^ п 0(в),

где щ не зависит от s. Следовательно, при М~т>п0

У Д д

<

i l l

/ J ________ 1

\ .

Ма

,

8

^4 ns

""

0

\М°

(N + 1)а )

(N+ 1)°

п—М

 

 

 

 

 

 

 

 

Если а > 0

и Л 4>п 0(е), мы получаем оценку

 

 

N

 

 

1

8

^

28 |S]

 

 

 

 

 

 

 

п= М

 

м °

М °

''

а

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы доказать равномерную сходимость, заметим, что

И

1

cos|args]

1

1

sin

0

 

 

cos (я/2 — 0)

т. е. для каждого s, удовлетворяющего условию |arg s| ^

=^я/2—0 < я /2 ,

мы имеем

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

<

2е (cosec 0), N >

М > п0(е);

 

 

п=М

 

 

 

 

теорема 1

доказана.

anlns сходится при

Отсюда следует,

что если ряд

s0 = a o + it o ,

то

он

будет сходиться при всех

s = a + i t

с ст> а0.

 

 

 

 

 

Таким

образом,

справедлива

 

 

 

 

 

оо

 

 

Теорема 2. Если ряд У^ап1пs сходится при s =

s0, то он

п=1

сходится в полуплоскости а>СТо и равномерно сходится в каждом компактном множестве, содержащемся в этой

полуплоскости.

Из равномерной сходимости следует также

Теорема 3.

Пусть ряд ^ an/ns сходится при s = s о

 

Л—1

ос

ОО

и Yian/ns° = f(s 0) . Пусть, далее, f(s) — £ a n/n* в полупло-

rtsasl

Л=1

$ 4. Ряды Дирихле

153

скости а>оч). Тогда f(s)-*-f(s0) при s^-s0 вдоль любого пути, лежащего в области |arg(s—s0) |^ л /2 — 0 < л /2 .

Теорема 2 показывает, что область сходимости ряда Дирихле представляет собой полуплоскость. Действи­ тельно, если точки действительной оси разделить на два класса U и L, такие, что

U—

]£] —у сходится} ,

 

П = 1

 

 

оо

 

£ =

|0 I j

расходится},

 

п=1

U будет больше любого числа

то каждое число класса

класса L и такое разбиение на классы определяет дей­ ствительное число Оо, такое, что ряд сходится при 0 > 0 О

и расходится при 0< 0 о - В случае 0 = 0 0

вопрос о сходи­

мости остается открытым. Если класс U пуст, то поло­

жим 0О== +оо, если же L пуст,

то положим 0 о = — оо.

Число 0 о называется абсциссой сходимости,

прямая

0 = 0 О—•прямой сходимости, а полуплоскость 0

> 0 О—

 

 

со

 

полуплоскостью сходимости ряда Дирихле Ц ап/п\

оо

 

 

 

Ряд 2 n\/ns всюду расходится

(0о= + оо), в то время

П = 1

 

 

 

оо

 

 

 

как ряд 2 1 /(n\ns) всюду сходится (о0=

— оо).

 

л = 1

Теорема 1 вместе с теоремой Вейерштрасса о равно­ мерно сходящихся последовательностях аналитических функций дает нам следующий результат:

Теорема 4. Ряд Дирихле ^апП-* в полуплоскости его

п—1

сходимости представляет собой регулярную аналитиче­ скую функцию от s, последовательные производные ко­ торой получаются почленным дифференцированием это­ го ряда.

В этих теоремах ничего не говорится о сходимости или регулярности суммы ряда на прямой сходимости.

154

Г л. X. Теорема Дирихле

В отличие от степенных рядов, которые всегда имеют на границе круга сходимости особенность, ряды Дирихле не обязательно имеют особенность на прямой сходимости. Точно так же из сходимости или расходимости ряда Ди­ рихле в фиксированной точке на прямой сходимости мы не можем делать выводы о регулярности или нере­ гулярности суммы этого ряда в указанной точке. Мы

вернемся к этому вопросу несколько позже.

оо

Абсолютная сходимость. Ряд ^ п „/п 8 сходится абсо- /1=1

лютно, если сходится ряд ^]|ап|/«а •Абсциссой абсолют­ ных

ной сходимости о ряда £ a „ /n s называется абсцисса схо-

п = 1

димости ряда V] | |/ns.

л=i

Очевидно, а^сто, так как абсолютная сходимость влечет за собой сходимость ряда. Если о > ао , то сущест­ вует полоса в комплексной s-плоскости, в которой ряд

сходится, но не абсолютно. Эта полоса сго<сг<сг назы­ вается полосой условной сходимости.

Рассмотрим для примера ряд

V

(—I)"—1

^

ns

Я=1

 

сходящийся при действительных s > 0 , поскольку это зна­ копеременный ряд с убывающими членами. Он, очевид­ но, расходится при действительных s < 0 и, следователь­ но, ао = 0 . Далее, этот ряд абсолютно сходится при сг>1

иабсолютно расходится при <т<1. Следовательно, <т=1,

иполоса условной сходимости имеет ширину 1. Интересно отметить, что при а > 0 имеет место равен­

ство

f ± Щ Щ = ( , _ 2 ' - = ) £ ( 5 ) ,

( 6 )

"

ГГ

 

/1=1

§ 4. Ряды Дирихле

155

где £(s) есть дзета-функция Римана.

В самом деле, ряд

в левой части (6) абсолютно сходится при о > 1 , и после соответствующей перестановки его членов мы получаем при а > 1

Но ряд

У] (— 1 ) n~lfns сходится при а > 0

и функция

£(s) (1—21-s) регулярна при а > 0 , так как

простой по­

люс £(s)

при s = 1 уничтожится нулем функции 1—21_s.

Следовательно, по аналитическому продолжению мы по­ лучаем, что равенство (6) остается справедливым при а > 0 .

Мы показали, что полоса условной сходимости ряда

(6) имеет ширину 1. Можно доказать, что ширина поло­ сы условной сходимости любого ряда Дирихле Yian/ns не

может быть больше 1, так что если ряд Дирихле схо­ дится для данного «о, то он будет абсолютно сходиться при всех s, у которых действительная часть будет боль­ ше действительной части s0 на величину 1+ е при любом е > 0 .

Теорема 5.

Для

любого

ряда

Дирихле ^ a n/ns

мы

_

 

 

 

П~1

 

имеем о—сго^П.

 

со

 

 

 

 

 

Доказательство.

Если

ряд

ап/п* сходится,

то

 

 

 

/2 —

1

 

lim|a„|/na = 0

и, следовательно, ряд У1\ап \/п'+а+в

схо-

/2->оо

 

 

 

п=1

 

дится для любого е > 0 .

 

 

Как показывают следующие примеры, эта теорема не выполняется для рядов Дирихле более общего вида

У1ап'ДГ\ где (Хи) не является множеством положитель­

156

Тл. X. Теорема Дирихле

ных целых чисел. В самом деле, ряд

со

у(- 1 )”

^(log n)s

п= 2

сходится при 0 >О , но нигде не сходится абсолютно; ряд

оо

у £-1)"

П=1 V « (log nf

сходится при всех s, но нигде не сходится абсолютно.

Вернемся теперь к вопросу о регулярности суммы ря­ да Дирихле Yi &nlns на прямой сходимости. В случае

когда коэффициенты (ап) неотрицательны, имеет место

Теорема 6 (Ландау). Если ап^ 0 для всех 1 и Оо

конечно, то точка пересечения действительной оси с пря­

мой сходимости является особой точкой суммы f(s) ря­

да Дирихле £ a n/ns.

 

п—Л

_

Доказательство. Так как ап^ 0 , то 0 = 0 О. Без огра­ ничения общности мы можем считать, что 0 о=О. Нам

нужно показать, что точка s = 0 является особой точкой функции /. Если бы / была регулярна при s = 0 , то ряд Тейлора функции / в точке s = l имел бы радиус сходи­ мости р > 1 . Следовательно, должно существовать дейст­ вительное s < 0 , для которого ряд

( * - l ) v ^(v> (1) v!

V — о

сходится. Но при 0 >О

m - s

п—1

и по теореме 4

П=1

§ 4. Ряды Дирихле

157

так что

(— logn)v

Г ( i) = S I“.

П—1

Ряд Тейлора функции / в точке s — 1 имеет поэтому вид

V

(s— 0 V у

а„ (— logn)v ^

у

(1 - д )г

а п (log п)х

 

Л)!

"

м

^

v!

2

v=D

v!

п

/г=1

 

п —1

 

v = 0

 

Поскольку все члены этого двойного ряда неотрицатель­ ны при s < 0 , можно изменить порядок суммирования. Тогда мы получим, что ряд

оооо

у с ы

V

(1 — s)v (log n)v

^ п

^

v!

n = l

V — О

 

сходится для некоторого s < 0 . Однако

 

 

(1 — S)V (log /z)V

_

g(l_s) log л

 

 

 

2

v!

 

 

 

 

 

 

v=0

 

 

 

 

 

Следовательно, ряд

^]ann_s

сходится

для

некоторого

s < О,

 

 

/1=1

 

Go = 0.

Таким образом,

что невозможно, так как

точка

s = 0

должна быть особой точкой функции f(s).

Умножение рядов Дирихле.

Формальным произведе-

 

 

 

оо

 

оо

 

 

наем

двух

рядов Дирихле '£iaklks и V]fem/ms

называется

 

 

 

k — \

/71=1

 

 

ряд Yicn!ns,

гдеста=

^аф т . Если оба эти ряда сходятся

/1=1

 

k m —n

 

 

 

 

абсолютно для некоторого данного s, то ряд

так-

 

 

 

 

 

 

 

п = 1

же абсолютно сходится и называется в этом случае про­ изведением данных рядов.

Пусть a > a o и

158

Г л. X. Теорема Дирихле

Тогда

по теореме 5 функция h(s), где h ( s ) = f ( s ) - g { s ) ,

представляется в полуплоскости а > 0 о + 1 произведени­

ем рядов Дирихле функций f(s)

и g (s).

Представление функции рядом Дирихле единственно,

как показывает следующая

 

Теорема 7. Если ряды'£Лап1п* иУ^Ьп/п* сходятся в об-

п = 1

п = 1

щей полуплоскости и их суммы совпадают в непустом от­ крытом множестве, содержащемся в этой полуплоско­ сти, то ап= Ъп при всех п ^ \ .

Доказательство. Рассмотрим ряд Дирихле

оо

И(а« — bn)lns.

1

Он сходится в некоторой полуплоскости а > а о , где опре­ деляет регулярную аналитическую функцию. Эта функ­ ция тождественно равна нулю в некотором непустом от­ крытом множестве, содержащемся в этой полуплоскости, и, следовательно, тождественно равна нулю во всей этой полуплоскости 0>0о -

Пусть М будет первым значением индекса п, при ко­ тором апф Ьп, и пусть сп= ап— Ьп. Тогда при а > о 0 мы имеем

2 ,5п- = 2 „5п= ° -

л = 1

п = М

или

СМ

Ма S

п = М + 1

Следовательно, при а > о о + 1

М | < 2 I ~п |

М_

п

п=М+1

 

Пусть теперь а->оо. Тогда из равномерной сходимости последнего ряда при а > О о + 2 следует, что см = 0. Но это

§ 5. Теорема Дирихле

159

противоречит определению М. Следовательно, сп— Одля всех п ^ 1 .

§ 5. Теорема Дирихле. Применим теперь результа­ ты, полученные нами в § 3 о характерах и в § 4 о рядах Дирихле, к рядам вида

 

S Х(п)

s = а + И,

(7)

где %— характер

по модулю т.

 

Имеется ф(т)

таких рядов, где ф — функция Эйлера.

Так как |х(«) | ^ 1, ряд (7)

сходится при о > 1 ,

что вид­

но из сравнения этого ряда с рядом 2]l/ns. Обозначим

его сумму через L(s, %)• Для различных характеров %мы получаем разные функции L(s, %). Они называются L-функциями Дирихле. При изучении свойств этих функ­ ций удобно различать случаи, когда %— главный харак­ тер xi и когда %ф%\.

(i)

Если %Ф%и т0

ряд (7) сходится в полуплоскости

а > 0 . Покажем сначала,

что частичные суммыS x ( n) or-

раничены.

 

 

 

 

п < х

 

 

 

 

 

Разобьем целые числа от 1 до [х] на классы вычетов

по mod т и запишем

[ x] =mq + r,

— 1. Тогда

 

[л]

т

 

2т

m q

m q + r

21x(«) = 21x(«) = (21 +

£

+•••+ 2

)х(«)+ 23х(л).

п < х

п = 1

1

 

т + 1

m (q — 1) + 1

m q+ \

Всилу соотношения ортогональности (4) мы имеем

тц л -г

£ х(л) = 21 х(га)>

я < х

m q + l

откуда

m q + r

 

21х(л)|< II 1х( л)|</‘ </ л .

п < х

m q + 1

Так как п~° при а > 0

монотонно убывает и стремится

к нулю при я-*-оо, то ряд 2]%(п)/па сходится для дейст-

11

Смотрите также файлы