Файл: Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 51

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

О(

=

\Е1]

(V.47)

т

п

 

 

Остается определить формы собственных колебаний. С этой целью,

воспользуясь свойством

определителей,

разложим

детерминант

(V. 46)

по элементам первой строки:

 

 

 

2

< - 0 * +' [ ( Ч - “У » + Я м] Ц , = 0,

(V.48)

 

к =

1

I V

/

j

 

где i =

1, 2, ...

 

 

(V. 44)

имеет бесконечное множе­

Ввиду однородности система

ство решений.

Поэтому,

пользуясь произвольностью

выбора,. от­

брасываем первое уравнение и, считая А\ известным, переписываем остальные уравнения следующим образом:

■А аи "Ь A

al3 A

alt -f- • • • =

А ап,

(V.49)

где

 

 

 

 

 

a i k ~ { ^ n ~ ~ a

)А* +

А *

(г, k =

1, 2 ,...).

 

Теперь считаем, что система (V.49) является системой неод­ нородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов А { (i = 2, 3 ,...,). Пользуясь известным правилом Крамера, нахо­

дим эти коэффициенты:

 

Ak = Dk -.Dl (А = 2,

3, ... , л);

(V.50)

здесь

— основной определитель системы i(V.49A

 

 

Dk — определители того же порядка, что и

, получаю­

 

щиеся из

заменой

элементов соответствующих

 

столбцов свободными членами А1ап.

 

Нетрудно доказать,

что Dk из (V.50)

можно выразить через

Dik из (V.48). В самом деле,

 

 

 

 

А = Я „ .

A = ( - 1)ft+1A

Dlk.

(V-51)

Следовательно, вместо ,(V.50) имеем

 

 

 

Ла = ( - 1 ) * +1^ А ( А - 2 , 3,...,« ).

(V.52)

 

 

и 11

 

 

 

Подставляя (V. 52) в общее решение (V. 41), получаем выра­ жение приведенной собственной формы, по которой можно опреде­ лить форму кривой изгиба по всей длине рассматриваемой балки при свободных поперечных колебаниях [100, 102]:

^(S ) = ^ f L =

5 L 2

(V.53)

1

11

 

126

где

X h — аппроксимирующие функции (V.42).

Таким образом, для решения рассмотренного класса задач ме­ тод Бубнова — Галеркина позволяет получить уравнения частот и форм свободных колебаний при произвольном законе изменения жесткости основания( включая и таблично заданный случай) для любых граничных условий. Данный метод решения обладает боль­ шими преимуществами перед другими приближенными методами»

Ниже рассмотрим несколько частных случаев.

§11. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ, СВОБОДНО ЛфКАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, ЖЕСТКОСТЬ КОТОРОГО МЕНЯЕТСЯ ПО ПАРАБОЛИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ

Пусть (рис. 39)

c(S) = 4с(1~ а) (*2~ * 0 -

(V.54)

Рис. 41. Изменение собстЕенных чисел ^."соответствующих первым четырем формам собственных колебаний в зависимости 'от коэффициента нсоднородно-

Рис. 42. Зависимость первой

формы

свободных колебаний балки

от коэффи­

циента неоднородности в1 при отрицательных

(а) (а = 0,5; в* < 0),

положитель­

ных (б) (а =

0,5; в1 > 0) значениях в1 и^в переходный момент (в)

(<*= 1).

Уравнение

форм будет

таким

же,

как и (V.21), а обозначения

имеют вид

 

 

 

 

 

 

= щ \ (ото)2 -

b4 =

J Щ Ас (1 _ *)•

(v -55)

127

Граничные условия для рассматриваемой балки следующие:

 

 

 

 

Х\ = Х ."

= '0

при Е= 0

 

(V.56)

 

 

 

 

X t = X t

 

— 0

при X= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве

аппроксимирующих

функций

выбираем систему

функций (исходя из физических соображений)

 

 

 

 

 

= h [Т ( \ *) + Mt S [ \

5)] (i = 1,

2,...),

(V.57)

где S, Т — функции Крылова.

 

 

 

 

коэффи­

Ограничиваясь первыми

пятью формами колебаний,

циенты It , \ , mt положим равными:

 

 

 

 

/, =

2(2 - a) (i = 1,

3,

4,

5),

/ 2 = 2 (2 -

а) (1 - 2$);

т х=

т2=

0,

т3 = — 1,0178,

 

= -

0,999223,

тй= — 1,0000335;

а, =

Х2 =

0,

Х3 =

4,73, Х4 = 7,853,

Х5 =

10,996.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значения

параметров заим­

 

 

 

 

 

 

 

ствованы из [4,17]. Интегралы

 

 

 

 

 

 

 

Llk остаются без изменения, а

 

 

 

 

 

 

 

Rlk имеют вид

 

Я « = ,((58 - * )* ,* * < « .

Рис. 43. Зависимость второй формы собственных колебаний от коэффициента неоднородности в4 при:

а—отрицательных значениях (а£= 0 ,5 ; в*'<0), ^ —[положительных (а —0 ,5 ; в* >0 ).

Рис. 44. Зависимость третьей формы свободных колебаний балки от коэффи­ циента неоднородности а.

Вычисление Lih и R lk, а также нахождение корней а 4 частот­

ного уравнения и вычисление форм собственных

колебаний вы­

полнено на ЭЦВМ М-20. Найденные собственные

числа для

из­

менения коэффициента неоднородности

№ о т— 1000 до +

1000

приведены в виде графиков на рис. 41.

Влияние коэффициентов

неоднородности Ь1 и а на формы собственных колебаний показа­ но на рис. 42—44.

128

§12. КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ, СВОБОДНО ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, ЖЕСТКОСТЬ КОТОРОГО МЕНЯЕТСЯ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ

Допустим,

 

 

 

j

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

с (£) =

С - У - X +

а-С.

 

(V.60)

Тогда

расчетную схему

принимаем

так,

 

как показано на

рис. 45.

Обозначая

 

 

 

 

 

 

 

а 4

ти>-14 — acl1

А* - g С1-«)/*

’

(V.61)

 

[Щ

’

 

 

~

IBI]

 

я

Рис. 45. Расчетная схема балки, лежащей на упругом основании с линейной жесткостью.

Рис. 46. Зависимость собственных чисел, соответствующих первым четырем формам, от коэффициента неоднородности в4 при линей! ом законе изменения жесткости основания.

получаем уравнение движения в виде

 

 

х 7 - { а А- Ь \ ) Х (5)

= 0.

(V.62)

Интегралы Llk не меняются, a Rlk будут

равны:

 

R ik=\%Xr X kd'.

 

(V.63)

о

 

 

Граничные условия, система аппроксимирующих функций, частот­ ное уравнение и уравнение форм будут такими же, как соответству­ ющие формулы в § 11.

Решением частотного уравнения найдены собственные числа, зависимость которых от коэффициента неоднородности Ь4 показана

9-207

129

Рис. 47. Изменение форм свободных колебаний балки, свободна лежащей на упругом основании, жесткость которого меняется по линейному закону, при

положительных значениях в4: a —nepjas форма, <5—вторая.

Рис. 48. Зависимость третьей формы собственных колебаний балки от неод­ нородности основания при отрицательных (а) и положительных значениях в1 (б)-

на рис. 46. Изменение первых трех форм собственных колебаний балки в зависимости от коэффициента неоднородности основания Ь4, иллюстрируют рис. 47, 48.

§ 13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ВХОДЯЩИХ В ЧАСТОТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Рассмотренные выше два случая изменения жесткости основания наиболее часто встречаются в практике строительства и сравни­ тельно удобны при математических операциях. Единственная труд­ ность заключается в вычислении интегралов (V. 45) и решении ча­ стотного уравнения (V. 46).

Заметим, что при вычислении интегралов (V. 45) можно поль­ зоваться способом Симпсона или любым другим из численных ме­ тодов. Поскольку в большинстве случаев расчет ведется на ЭЦВМ, то можно пользоваться существующими стандартными программа­ ми, которые имеются в машинном обеспечении электронных вычи­ слительных машин любого типа. Однако можно пользоваться и го­ товыми, не табличными выражениями интегралов, приведенных в приложении 2. Эти же интегралы могут быть использованы как табличные при решении других различных задач прикладной ма­ тематики и строительной механики. В приложении 3 приводятся

значения этих же интегралов,

вычисленные в интервале [0; 1]. При

этом имелось в виду, что

 

, ; . :

ах —

, bx =

130

где \ и ХА— собственные числа, соответствующие i-му и k-uy тонам,

^— приведенная длина балки, изменяющаяся от 0 до 1 при

изменении х в пределах [0; /].

 

Запись,

например (U-Т — 5 У ) аж означает

 

( U

- T - S - V ) ax = U ( a x ) T ( a x ) - S ( a x ) - V { a x ) .

(V.64)

Этими интегралами можно пользоваться, если аппроксимирующие

функции (V. 42) в решении (V. 41)

дифференциального уравнения

(V. 40) динамического равновесия

балки или другой конструкции

берутся в виде балочных функций или используется фундаменталь­ ная система функций А. Н. Крылова с единичной матрицей, которая при решении многих задач динамики сооружений является универ­ сальной и поэтому незаменимой.

Как отмечалось выше (§ 5), виды функции жесткости не огра­ ничиваются этими двумя видами. Возможны многие другие случаи, некоторые из них рассмотрим ниже.

§ 14. СИНУСОИДАЛЬНАЯ ЖЕСТКОСТЬ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ

В предполагаемом случае жесткость изменяется по закону

с(£) = с [а +

£(а — 1) sin тс (га$ -j- m)J.

(V.65)

Как видно из (V. 65),

при а = 1 имеем однородное основание.

Изменение безразмерных параметров a, k, п, m в различных пр_еделах вызывает всевозможные изменения жесткости упругого ос­ нования. Этот закон применим особенно в случае опирания балки, кроме непрерывного основания, на сваи или другие упругие опоры.

Имея в виду удобство для программирования, вместо k, п, пг введем другие параметры, которые принимают только целые число­

вые значения. Тогда

(V. 65)

примет вид

 

с($) = *с

1 +

1) Sin 2',_3(s + 2r_v)

. (V.66)

Здесь предполагается изменение безразмерных параметров в сле­ дующих пределах (встречающихся на практике):

р.= 1, 6 ; v = 1, 7 ; r = 1, 5; а = 0,5;

2, 5.

В принятых обозначениях

имеем

 

ft4 ($) =

£ ( 1 + £ 4sinT),

(V.67)

где

 

 

 

 

(V.68)

5 =

ic2,_3 (Е + 2r_v)

 

131

Смотрите также файлы