Файл: Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1.pdf

§ 7. НОРМИРОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Нормирующий множитель для рассматриваемой расчетной схемы имеет вид

1П

На основании (V. 23) ортонормированные функции собственных колебаний запишутся в виде

* л(5) - УтХк П) 5(а$) + <?0 (Ь%) —

§ 8 . РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Дифференциальное уравнение изгибных колебаний исследуе­ мой системы под действием распределенной нагрузки с интенсив­ ностью р(х, t) на основании (V. 5) имеет вид

Для решения уравнения (V.25) будем пользоваться известными методами. Нагрузку p ( x ,t) разложим в ряд по собственным на­

грузкам (собственная нагрузка есть выражение пш2кХ к (л))

Если обозначим

i

\р(х, t ) X k (x)dx = p k(t), (V.28) 6

то выражение (V.26) с учетом формул (V.27), (V.28) примет вид

122

В силу независимости форм свободных колебаний из выражения (V.31) следует

щий закон движения исследуемой системы при действии сейсмиче­

ь*

§9. ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ

Пользуясь общими правилами нахождения изгибающего мо­ мента, вычисляем значения изгибающего момента в любом сече­ нии рассматриваемого типа сооружений по формуле

M k (х) — изгибающий момент для любого сечения, соответствую­ щий k-Pi форме собственных колебаний,

123

где

или

§ 10. ОБЩАЯ СХЕМА РАСЧЕТА СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОК НА НЕОДНОРОДНОМ ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ БУБНОВА—ГАЛЕРКИНА

Решение уравнения (V. 10) свободных колебаний балки на не­ однородном упругом основании методом Фурье сравнительно не­ сложно. Однако в каждом конкретном случае изменение жесткости основания и граничных условий требует определения «функций не­ однородности» сро, фц ф2, фзСущественно также то, что этим мето­ дом можно пользоваться лишь в случае, когда функция жесткости упругого основания с(|) выражается степенными рядами. Если с(|) представлена гиперболической, синусоидальной, экспоненци­ альной или другой функцией, то для применения метода Фурье при решении основного уравнения ее необходимо разложить в сте­ пенной ряд. Таким образом, задача сведется к определению коэф­ фициентов двойного ряда. Для того, чтобы добиться достаточной точности решения, в рядах (V. 11) и (V. 12) нужно удержать боль­ ше членов, что затруднено из-за больших значений коэффициентов и громоздкости выражений функций неоднородности фо, фь ф2, фз: к тому же встает вопрос об исследовании сходимости этих рядов и определении членов ряда, начиная с которого влиянием следующих членов на общее решение уравнения (V. 10) можно пренебречь.

Вследствие этого нам кажется резонной попытка построения об­ щего решения основного уравнения одним из вариационных мето­ дов.

Итак, имеем основное уравнение

Общее решение уравнения (V.40) представим так:

оо

ft=l

Воспользуемся методом Бубнова—Галеркина, который широ­ ко применяется при динамических расчетах строительных конст­ рукций. В качестве аппроксимирующих функций примем систему

124

Коэффициенты, входящие в (V.42), для каждого частного случая закрепления концов имеют вполне определенные число­ вые значения. Коэффициенты It всегда при этом содержат вели­

чину (2 —а). При а = 1 система (V.42) представляет собой точ­ ное решение однородной задачи для соответствующих гранич­ ных условий. Балочные функции, стоящие в скобках, можно за­ менить фундаментальной системой функций А. Н. Крылова [52].

Запишем вариационное уравнение Галеркина [4, 100]:

рассматриваемой балки.

Таким образом, мы получили частотное уравнение (V. 46), ре­ шением которого при известных значениях коэффициента неодно­ родности 64 найдем собственные числа а4, а следовательно, и кру­ говые частоты сол.

125