Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

определяемую третьим из соотношений

(1 .8 ) г л .1 . Подставляя это

со­

отношение в выражение

(П .5 ), используя определения (1 .8 ) гл .1

для

qn и

и полагая для

простоты sign

У iy -Ъ =/, получаем

у1

у г

V3

с-

s

Р

L*

- ? * j

’ ^ 7 ’ г

’ Л Т ’

(П .8)

~ f L*

L#

,

L*

= —

= £ fr\rz ‘in *’*

ж

=S>

/7 )=

j *

J

y

r = 7> ,x n

Y *

j

f

'

цце Lx и T" - характерные

значения длины и натяжения.

В результате

уравнения

(П .7) и

(П .2)

запишем в

виде:

(T m ) + G>e3 + X j? 1 +эёп jin х (е 7 > т )/т * ( t j <т) = 0,

(П .9)

2С£ = £ .

(П .10)

семи уравнений (П .З ),

(П .9)

и (П .10)

служит для определения семи

величин

Ц ,

у

,

% , щ , ”>г ,

т3 ъ

Т

в функции текущей длины ни­

ти & .

Далее

используем следующее

представление для

единичного

вектора касательной к

нити:

т = c o s d в] ssindcoscfe^

+ s/n d sin cfe3 ,

(П .11)

где d

и у

-

соответственно

меридиональный и азимутальный углы.

Заметим,

что

соотношение

(П .11) тождественно удовлетворяет

уравнению (П .З ).

Умножая скалярно

(П .9)

на вектор касательной к

нити in

, с

использованием представления

(П .11)

получаем

д'т

_

(П .12)

+ X j COSd -i- СО S in d sin Cf = О .

Умножая скалярно

уравнение (П .9)

на вектор

(

е1 *

т

) и учитывая

соотношение

(П .1 1 ), находим

т s in d

-JZ v со co sy - О.

(П .13)

а б

т

т )

Свертка уравнения

(П .19)

с вектором

*

приводит к

уравнению

doC

^

„

^ ^ ^

Т —-- Хп sin ‘d - X ^sind + СОCOS d S in y =О.

Подставляя первое из определений

(П .8) и выражение

(П .П ) в

уравнение (П ЛО ),

получаем

Pasрешая систему трех уравнений

(П .18) -

(П .2 0 ),

можно определить

значения

т ,

у

и а.

в функции величины

t

. Зная d ( £

) и у ( %),

с помощью соотношений

(П .21)

- (П .23) можно определить величины

| ( £ ) .

( ? г ) и ^ ( ^ ) .

И н т е г р а л

д л я

н а т я ж е н и я .

Пусть поток одно­

родный, V (у 1) = У0 = co n st. Тогда

к ,

= «а?. =

^

= con st

х

=

т.*

= c o n s t .

(П .24)

f

f ~

у *

1 П П

Здесь величины

q

и

qn определяются соотношениями

( I . I I ) .

Подста­

вим выражение

(П .21)

и первое

выражение из

(П .24)

в

уравнение (П .18)

за характерное значение натяжения натяжение в

точке

(

f ,

, ^ ),

запишем

'г = 1+яу:

■

(П .25)

Интеграл для натяжения (П .25) может,

в частности, быть полезным

при проведении

оценочных расчетов. В случаях

со

ф 0 ,

зе^ = 0

и

со - 0 , Ху. Ф 0

он переходит в известные /41,

72 ,

74/.

О б о б щ е н и е

р е ш е н и я

К р ы л о в а .

Пусть

нить

обладает

нулевой плавучестью,

= 0.

(П .26)

Покажем,

что в

этом

случае система уравнений

(П .18)

-

(П .23)

инте­

<?* 9 ,-

(П .28)

I

х п * Х ,

е ” в . х ,

я к .

(П .29)

/

2 х .

Тогда, подставляя соотношения

(П .26) и

(П .28) в

уравнения (П .18)

и (П .20) и используя

затем обозначения

(П .2 9 ),

соответственно за ­

пишем

a'LЛ я

_ „

ccqct

Ш.ЗО)

d f

/

sin f t

d d

2 e "

+ sind-

(П.31)

d p

Sin </>

Разделим левую и правую части уравнений Ш.ЗО)

и (П .31)

друг на

друга, проинтегрируем получившееся при этом уравнение

и удовлетво­

рим затем условию

^ /

_

= г,

которое является следствием четвертого и шестого условий (I1 .2 7 ).

В результате, полагая

0 ,

находим^

~ _

/ *

jL ££-

Sind.

(П .32)

i £

п

1+

S i n d „

Подставим выражение

(П .32)

в

уравнение

(П .3 1 ).

Интегрируя по­

лучившееся при. этом уравнение

и удовлетворяя затем

шестому условию

(П.-27), записываем

2 s

* 9 j = е*Р/

( Г - г „ )

,

(П.ЗЗ)

sm <f

sin р . In tg -jf-

(П .34)

'1 *

7 +

2 £ ”

s in ж#

выражаем натяжение т

Подставляя соотношение (П .ЗЗ)

в

(П .3 2 ),

через координату т, :

- - ■2е'

1+ 2 £ ? c/t f —

sLnh

J

т =

/

/

s/n (/>«

Ш .35)

Sind#

Подставим выражения

(П .28)

и

(П.ЗЗ) в уравнения (П .21) - (П .23)

?

Г 1+ l^t-

- 4- / sh

-

< * - * * * ' ,f ' r ,

(П .36)

s m ^

l

s,n9*

J

7 = S

c t g v * ,

(П .37)

1+

P s77

6 = .

7

Ch

S/nd.0.

soup

Sin <Pf

(П .38)

Решение (П .28) и (П.ЗЗ)

-

(П .38) представляет

собой обобщение точ­