Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

5 .

Примеры

Р а в н о в е с и е

н и т и

в

н е о д н о р о д н о м

п о т о к е

ж и д к о с т и .

Рассмотрим пример отыскания равно­

графа I.настоящей

главы, при которых выражение для распределенной

силы, действующей на нить в потоке,

задается соотношениями ( 1 .9 ) ,

(1 .12) и

( I . I 3 ) .

Пусть, далее,

w =

const , у » con st .

Тогда в де­

картовой

системе

координат ( у ’ , Уг ,

У 3

) уравнение Гамильтона-Яко­

би (1 .5 4 ) , а также соотношения

( 1 .5 5 ) ,

(1 .5 9 ) и (1 .6 3 )

запишутся

так:

\2

as

J s - wy \ р, ^ = - Д

(1 .2 0 6 )

s = so+ sr

V

'

(1 .2 0 7 )

as, ( s .y k, x k )

j

'

(1 .2 0 8 )

------JZ

---- “f

(1 .2 0 9 )

Идентифицируя постоянные

х 1 с

постоянными

Т

,

с;

И

С2

и

надлежащим образом переобозначая постоянные f

1

,

с

помощью соотно­

шений (1 .2 0 8 )

-

(1 .2 0 9 ) выразим величины

s

,

у 7

и

Т

через

вели­

чину у

следующим образом:

(T ° -w y 3) d y 3

(1 .2 1 1 )

Tj(T°-wy3)2-c 2 -[cr

<(>1 (у3)]2

„о; „ f

Сс,-Ф, t y b ] (fy3

( 1 . 212)

\ /(T °-u y3) 2- c j - [ c , -9 , <У3>]2

02 J. .

Г

а У5

(1 .2 1 3 )

У2-У

■±C

f _____

/ ( T °-w y3)2- c * - [ c t-<p1 (y3)]2

2J V ( r

^

T= T ° - v)y3,

( 1 . 214)

где

s

, у 01к у ог - произвольные постоянные.

Пусть поток однородный (

V (y 3)~vo = c o n s t ) . В

этом случае

из

вто­

рого

соотношения

(1 .2 0 6 ) следует

^ - Ч п У 3,

( I .2 I 5 )

где

величина

уп

определяется первым из

соотношений

( I . I I ) .

Пусть далее

го =

о , а

краевые

условия

таковы,

что нить

распо­

лагается

в шюсдости,

параллельной плоскости

у ' у 3

,

т .е . с2

-

0 ,

у г =

у 02.

Тогда,

беря интегралы

( I . 2 I I )

и

( I .2 1 2 ) и выражая с

помощью

полученных соотношений координаты у 3 и

у ’

через

текущую длину нити

s ,

находим

у 3=у113+1 smkg (s-s°), y 7=yw+-

cosk0 (s-s°),

K

^

, y

B3* - ^ T

(I .2 1 6 )

Таким образом,

конфигурация нити в

рассматриваемом случае представ­

ляет собой дугу окружности. Удовлетворим с

помощью решения

(1 ,2 1 6 )

следующим краевым условиям:

y3/s=o =°>

y ’/ s - o

=

T ° ^

/ s - r

T* C0SJi*

’

Т °

=

T* 5 !n fi*

’

где

I

-

длина нити,

Т+ -

модуль

сосредоточенной

силы,

приложен­

ной к

ее

концу,

р^ - угол, который эта сипа составляет

с осью

у 3 .

В

результате

определим постоянные

у 03,

у 07,

s °

и

Т°.

Подставляя

найденные таким образом значения постоянных в

соотношения ( I . 2 I 6 ) ,

получаем

J-Js/n(k0 L+ p j + s i n ( y g s - p ^ - kg l

)J ,

y '

= -f

/ cos (kgs - p it-kgL)-ais(kgL*plf)J,

Г = ^ / 1 , 2 1 7 ^

ko L

Из решения ( I . 2 I 7 )

видно,

что наибольший угол

с осью у 3 нить сос­

тавляет в точке закрепления ( s

= 0 ) .

В силу сделанных ранее допу­

щений условие

малости квадрата

этого

угла

(A * + * 0 U 2 «

i

есть достаточное условие применимости решения

( I . 2 I 6 ) .

Н и т ь

в

п о л е

с и л ы

т я ж е с т и . Рассмотрим-

(1 .3 4 )

и

(1 .3 5 )

для неоднородной нити на основании

полного инте­

грала уравнения Гамильтона-Якоби

( 1 .5 4 ) .

Пусть нить находится в

поле силы тяжести,

ф7 =0

, и = - д у 3 ,

где

д

-

ускорение

силы тяжес­

ти. Тогда в декартовой системе координат

(

у ’

, у 2, у 3 )

уравнение

(1 .5 4 )

примет

ввд____________________

а - 218)

Полный интеграл уравнения ( I .2 I 8 )

разыскиваем в

виде

S = Sa ^c1y ’ +с2 у 2* J

(y 3, s ) ,

( I .2 I 9 )

где S0

,

с7

и

с2

-

произвольные

постоянные.

Подставляя выражение

( I .2 I 9 )

в

уравнение

( I .2 1 8 ),

получаем

( 1. 220)

Полный интеграл уравнения (1 .2 2 0 )

имеет

вид

J

=30 +[ с 3 +дJ

зе (s) d s j у 3 +J / Я

/ d s ,

(1 .2 2 1 )

a = c f e;+ c2 r2

+ [c3 + g

f X ( s ) d s J r 3 ,

( 1. 222)

Где Jg

и

с - произвольные постоянные.

Общий интеграл

системы канонических уравнений (1 .3 4 )

и (1 .3 5 ) ,

получаемый на основе полного интеграла

( I . 2 I 9 ) ,

( I .2 2 I )

и (1 .2 2 2 ),

имеет вид

г

7

.

-

г = г и - /

Г а /

d s , о = а

J

(1 .2 2 3 )

~г =(У\ У2, У3)

, Р

= ( р \ р 2, р 3),

где Т ° -

произвольный постоянный вектор;

величина а

определяется

согласно

соотношения (1 .2 2 2 ) .

Далее

с

помощью соотношения

(1 .3 3 )

и выражения

(1 .2 2 3 ) для

импульса

р

определим натяжение

^

т~ f a t -

(1 .2 2 4 )

Отметим, что иным способом решение для

неоднородной

нерастяжимой

и растяжимой нитей, находящихся

в

поле

сил тяжести,

получено в ра­

боте /у.

в°

1 ,

W i ' i )

(1 .2 2 6 )

* ' • '

* * ( £ * } )

„3 ,.о з.

f 1

1

\

(1 .2 2 7 )

J

J

X ? g

{

COSaC

C O S d 0 )

'

т=

A

- ,

(1 .2 2 8 )

d

-

COSct

у 1; s ,

„0 7

„0 3

п

где

угол, который нить составляет с осью

и

У »

У

»

Ъ

d0

- произвольные постоянные.

Удовлетворим

с

помощью решения

(1 .2 2 5 )

-

(1 .2 2 8 )

следующему набору краевых

условий:

d = c t ° , s= 0 , у ?= у 3 = 0 ;

(1 .2 2 9 )

at =<*„ , s * L ,

у 7= Ъ , у 3- а ,

где

L

-

длина нити, D и Н - соответственно

расстояния по

гори­

зонтали и вертикали между точками закрепления нити.

(Далее

предпо­

лагается,

что D > 0

и

н ^ О .)

В результате имеем

* 0* у О7=>у°3 = 0 ,

Ц ~

(1 .2 3 0 )

< 7

('

1

- 1 0) . н :

(1 .2 3 2 )

1COSoi^

COSoL J

Обозначим через

натяжение на конце нити

(при s = L

) . Тогда,

учитывая, что

•a

oL„

с

помощью соотношения (1 .2 2 8 )

находим

Г.

cosd *

(1 .2 3 3 )

Полагая величины Ъ и И

заданными, определяем длину нити L

при которой

натяжение

Т

минимально. Исключая с помощью соотноше­

ния ( I .2 3 I )

величину

G-

из выражений (1 .2 3 0 ),

(1 .2 3 2 ) и

(1 .2 3 3 ),

подучаем

38

_Z

tyoC^-

(1 .2 3 4 )

J)

f j

J _

/ _

H

(1 .2 3 5 )

COJd,

COS'*

l n t g ( ^ * ) - l n i g ( * £ + * )

В

ния (1 .2 3 5 ) производную

(

d d ° /d d t

) ,

приходим к

следующему уравне-

НИЮ:

/

/Ы*

*0)

In b f - f + T J

7

1

(1 .2 3 7 )

» ( Ч + т )

Sind-

s/nai

углов d ° и ы#

Решая уравнения (1 .2 3 5 )

и (1 .2 3 7 )

относительно

и под­

ставляя

результат

в соотношение (1 .2 3 4 ),

определяем длину нити

L ,•

при которой натяжение нити в точке

s = l

минимально. Заметим, что

при 0 <ы.м <■( я / 2 )

углы

d °

,

определяемые

уравнением (1 .2 3 5 ),

отри­

цательны

{< *° < о

) .

Пусть точки закрепления нити расположены на одной высоте

(Н = 0 ).

Тогда из

соотношения (1 .2 3 5 )

следует

сС° = - <*-

(1 .2 3 8 )

Подставляя соотношение

(1 .2 3 8 )

в

(1 .2 3 7 ),

получаем следующее урав­

нение для определения угла

* *

:

-

In

* * (? + & )

2

(1 .2 3 9 )

*9

( j

sin d *

Решая уравнение (1 .2 3 9 ),

с

точностью до четвертой значащей цифры

находим

= в, 9855.

(1 .2 4 0 )

Далее с помощью соотношений

(1 .2 3 4 ),

(1 .2 3 8 ) и

(1 .2 4 0 )

находим дли­

ну нити

L m , при которой величина

Т-

минимальна:

,

m

,

cos ы™ = 1,258,

—

=

—~

г

-

( I .2 4 I )

В

c o s d m

*

Минимальное натяжение

Г'77

определяем

с

помощью соотношений

(1 .2 3 6 ),

(1 .2 3 8 ) и

(1 .2 4 0 ):

0,755 х°0 д В .

(1 .2 4 2 )