Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 69

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

II

siny0

 

 

 

 

 

 

dr,

 

 

 

 

 

 

 

 

=ctg у

 

 

 

 

 

 

 

d t;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dffD

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

Sln% sinat0

 

 

 

 

d T ’ = -со-Z c t9 *° ,

 

 

 

d%

 

 

/

 

sintpB

 

 

 

 

r

d v , _ . c 0 a 9 % _ r

 

dy^,

 

 

dr,

 

 

Sin2dg

 

 

d(

dd,

se_cosdn

 

 

X,

 

- U> Ctg Ы -

T

7-

71

 

0 d -

/

 

0 dr;

sinyg

 

1

sinyg

 

 

 

- T

dot. cosy.

зе

 

S/T)o(„ V

 

,

--------------------- £

n

 

7 d ^

sinzya

 

 

01

 

 

dll-.

7

 

 

fj^-t-y. ctgyg cosdg),

dr,

SincfgSindg

\sind0

 

 

 

/

 

 

d Vi

 

 

Vi

 

 

 

 

 

 

dr;

 

sin2yg

’

 

 

 

5 5

= "

— -------г - т -

(ct,ctgdgi V,Ctgy0),

a \Г

 

sirufQ smei0

 

 

 

 

 

 

dr,

-^£—

(ctg %

c t g d

<р *

 

- т ~ ) ,

sinyg

1

 

0

 

 

 

 

sm2<*q'

 

т

 

т

dcfi

_

dy.

+

 

 

- % - P

 

 

° 4 f ^

 

7 ~ d j

2 d %

 

(П .46)

(П .47)

(П .48)

(П .49)

Ш .50)

(П .51) (П .52)

(П .53)

(П .54)

(П .55)

 

+

03i -

f t ctg у

ctgd0 d, +

. ’

) ,

 

sin2d0

l

0

 

sin 2yg /

T

d d 2

£ n cosd0

 

=_ r

ddT

 

ddn

0

dr,

sin yg

2

1

dr;

2

dr,

■*n

ISWat. atft-ctgyg cosdg Цdr+sindg (ctSyg<?2 -

sing.

 

 

 

cosy.

я

1+ cos2% n,2)

 

 

•2

t Yt ’

0 Stn tO

1 l

 

Sin2ct'

sw 2ye

f 1

2sin

2yg

 

Ш .56)

(П.Б7).

d(2 d ;

 

. L i _

(at2 Ctgat0Ct) +

SWat0

sinvs/ndg[ s w d g

‘ '

ro

 

 

 

COSct„

J+C0S24>.

 

sindg

\ 2 sin Уд

V,~ V2 cos% ) ,

 

(-

 

 

<fci + f 2

Ш .5В)

49

 

о'Ъ J_ ___

( ? ; c tg % - Y2 ) ,

(П .59)

 

sin : Y0

 

 

 

dff2

 

1+ COS2ctg ^

2

+

W

s'n%s/r><*0 1 smdg

2sm<<a

■ COScC,

7

 

1 ctS % *9*0 Ъ *!*—

Yj -

V2 C0s 90

(П .60)

 

 

sm % l

***"%

/

 

Уравнения для последующих приближений можно получить аналогичным

образом. При ?д =(х/2), у» = y2 = 70 =7,= ?г ^ уравнения (П .43)—(П .60) переходят в соответствующие уравнения для плоских конфигураций нити.

 

Последовательно интегрируя уравнения нулевого приближения

(П .43) -

(П .4 8 ),

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о '

 

(П .61)

 

 

 

 

 

 

 

 

(П .62)

 

 

 

 

 

% =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П .63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П .64)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П .65)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П .66)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П .67)

где

? * ,

(* , у * ,

<<*,■&*,

f g -и

У*

- постоянные интегрирования.

 

Подставим выражения

(П .61)

-

(П .63) в уравнение

(П .49)

и учтем

в полученном соотношении второе

из

соотношений (П .29). Выполняя

затем интегрирование, записываем

 

 

 

 

 

 

 

 

Tj =t* -cod;- %*)*

 

 

 

 

+ £ Т * /ehi

■eh

 

r +

 

(П .68)

 

T * -

 

 

 

 

 

Sin ri

 

 

где

постоянная интегрирования.

 

 

 

Подставляя выражения (П .61)

-

(П .63) в выражение

(П .50)

и ин­

тегрируя,

получаем

.

X

ch*i : Ъ - К *

 

 

 

 

Y ^ 9 *

 

 

 

(П.69)

 

 

 

 

 

 

 

т*0 sir,у*0

 

где Ч>* - постоянная интегрирования. 50

Поскольку величины т"„о ' 'о ’ 7 и ^ найдены, уравнение (li.o 'i) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение,

первого порядка для определения величины

 

. Его решение с noMC.Lui.ii:

соотношений

(П .61) -

(П .63)

представляем в виде

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

'

rh-' ^

£ 1 1

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T>

n V o)

 

 

 

 

 

a h f i l * &

s r i ) .

 

T

, - j m n

- * „ y ri 4

h

 

 

(П .70)

 

(

то sin < /

 

r ; s/-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1»!

 

' 0 S,nVo

 

 

 

 

 

v

определяйте.1

где / /

постоянная интегрирования; величины

ту

и

соотношениями (П .68)

и (П .6 9 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для величин

f

у

и

с помощью соотношений

(П .52)

(П .54),

(П .62)

и (П .63)

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тв sinVa

 

 

 

 

 

 

<П.71)

 

 

 

 

 

 

 

 

ТВ * п<?о

 

 

 

 

 

 

 

 

ъ

 

1

Г, 4% ,

 

 

 

(П .72)

 

 

 

 

 

м

- J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г г п J *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I To s ,n ^ o /

 

 

\%s">vo l]

 

■ ®

- т а >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 * ,

f *

тле //

И

определяются соотношениями

(П .69)

и (П .7 0 );

и у ” -

постоянные интегрирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в пространственном случае показано, что задача

определения величин т

(

f ),

$» ( f ) , et ( f

) ,

^

( ? ) ,

у

( f

) к

& ( ? )

в первом приближении по выбранным малым параметрам сводится к квад­

ратурам.

Нетрудно убедиться в том, что для

постоянного ■(

£ =&„■*

- c o n s

t c o n

s

t

) потока интегралы, входящие в

выражения (П .64),

(П .66),

(П .63)

-

(П .73)

выражаются через элементарные функции. Из

уравнений (П .55)

-

(П .60) можно видеть, что

если известно

решение

в первом приближении по выбранным малым параметрам,

то задача отыс­

кания второго приближения также сводится к

квадратурам, и т .д .

К р а е в ы е

 

у с л о в и я

д л я

п о с л е д у ю щ и х

п р и б л и ж е н и й .

Запишем

краевые условия

для последующих

приближений, исходя из

краевых условий (П .2 7 ). Подставляя

выражения

(П .42)

в указанные условия и приравнивая величины одного

порядка

малости,

соответственно

получаем

 

 

 

 

 

$ о /х '0 ~ °’ Р о / х - а * 0 , * V W = ° ’

 

 

(П ^

^ ^ о ш0' Ъ / ^ о я 0 ‘ er / i > o ~ 0 '

(П .75)

х / ° ’ d ,h * % * ° '

Заметим, что в рассматриваемом примере краевые условия для

попра­

вок к решению второго и т .д . порядков имеют такой

же вид,

как и

краевые условия (П .7 5 ). Исключая с

помощью условий

(П .74)

постоян­

ные интегрирования из соотношений

(П .61) - (П .6 7 ),

решение

в нуле­

вом приближении записываем в виде

 

 

 

{ д Ыо „ е г р ( Г - г * \ 2 1 s w u /

7

Л * Л : г ' и .

0 smtf

J

(

sm < fj

 

V

 

 

 

7В =

 

е0 , J

 

[ c h ( r - r * ) d X>

siny^

Jg

1 s w tf j

У'* e -sin </f

In t9~jr ■

( П . 7 6 ) ( П . 7 7 )

( П . 7 8 )

( П . 7 9 )

Ш . 8 0 )

( П . 8 1 )

( П . 8 2 )

Здесь величина У

определяется первым из

соотношений (П .29).

Исключая с помощью условий

(П .74)

и (П .75)

постоянные интегрирова­

ния из выражений (П .68) -

(П .7 0 ),

поправки первого порядка к реше­

нию (П .76) - (П .81)

представим в

виде

 

 

 

 

 

(П .83)

 

 

 

 

(П .84)

(П .85)

(П .86)

(П.87)

52

Смотрите также файлы