Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

Заметим, что уравнение (П .122) записано таким образом, чтобы

вклю­

чить в рассмотрение также и случай отрицательных

углов

ы .

Разре­

шая уравнение (П .122), можно определить величину

d

б ) ,

Далее

с помощью уравнения (П .101) можно^определить

X = j < * ( 6 ) d 6 .

(П .123)

о

возможных

При интегрировании уравнения (П .122) возникает несколько

шая общности) будем рассматривать только случай

со >0

. Действи­

тельно,

как

видно из уравнения (П .122),

случай

со < 0

заменойы.-*■(-<*.)

сводится

к

случаю

со

> о .

Пусть меридиональный угол на конце

нити удовлетворяет условию

л ,

>, О

.И з физических

соображений ясно,

что

тогда по всей

дли­

не нити так же выполнено неравенство

z-О .

Уравнение

(П .122) в

этом случае

принимает

вид

a s

сСЫ

(П .124)

*ае,а- со

; -с *

( 7-& )

/

(П .124)

и удовлетворяя с

помощью полученного

Интегрируя уравнение

решения второму условию

(П .102), ПОЛполуЧЕчаем

ы2

ы,

(<*, - < * J

ы =

*,

(<*2

0&G&1,

(d.y + d ,) [ l +cef ( 1 - в ) ]

+ * 2

- 0 <

(П .125)

эе, + Y & y+4co#n

2со

Ы} ш

2*»

'й=— — 7 = ^ = = = - '

(П .126)

+

+4сооеп

а+ в j / 1-с

.

Из выражения (П .125)

следует,

что

если

а.у < ^

,

то и d

< «к

;

если же

d у > а.2

, то

и

ы

> ы2 .

При

= d'2 из

(П .125)

получаем

«<

=е^ .

Таким образом,

при а. у=

угол наклона нити к оси постоянен

по всей длине нити. Дифференцируя соотношение

(П .125),

нетрудно

убедиться в

том,

что

при <<у < <<2 имеет

место неравенство d d /d () <О,

а

при

><а2 - неравенство

d d / a е

> 0

. Заметим, что согласно

уравнению (П .122)

при

d

< о

всегда

имеет

место

условие

. d d / а б

<0.

Пусть меридиональный угол на конце нити отрицателен, асу

< о .

конца)

углы d отрицательны. Для отрицательных углов ы. уравнение

(П .122)

перепишем следующим образом:

d I * /

d ff

sen / d l 2+iejlo4-MO

(П.127)

7+sej(T-6)

I

А . >0,

/7.

а

< 0 , т . д

-

о ,

*

„

.

,

.г

(П .128)

йо s

4шжп ~ ( ж/ ) ■

С л у я

а

й I .

Пусть существует

такое

6

,

удовлетворяющее

условию

о <

в

< J

,

что

* / в =

ё = 0 -

(П .129)

Тогда слева

от

точки 6 = 6

углы

о.

положительны,

справа -

отрица­

тельны. Удовлетворяя с помощью решения уравнения

(П .122)

условию

(П .129),

имеем

с1,ыг {

[ xf

a - ff ) ] t’ ~>- [ l+ Z j 0 - 6 ) ] ° * }

= <*7[ изе^а-б)]** +d2[i+st/ (i-e)]a+

О i

ff £

6 .

(П .130)

Здесь величины

<*г

,

и

а+

определяются из

соотношений

(П .126).

Интегрируя уравнение

(П .127)

и удовлетворяя

затем

условию

(П .129),

находим

Ы= ~

уГд^

arctg -f— +

- 1—2. tg

2 хп

2 я п

I

*

} %

У 'Ц

1+ эе,(1-6)

, ff

£ 6 i J .

(П .131)

------ In -------2--------

2Xj.

1+Xj (1 -6)J

Удовлетворяя

с

помощью выражения

(П .131)

второму условию

(П .102) и

разрешая получившееся соотношение

относительно

в

, записываем

,

1 г

[ 2 * , /

. 2х п /<х*1+эе,

эе,

в =;Т

-7 4

^vr0 1r t9~v^-arct9yk)]-

(П .132)

Таким образом,

в

случае I

при 0 < б < 1

соотношения (П .130)

и (П .131)

определяют угол наклона нити к оси

f

по всей длине нити.

Подстав­

ляя выражения (ПЛЗО)

и (П .131)

в

выражение

(П .123), можно опреде­

лить координату

f

= ^

(&) .

Пусть углы

ы.

между нитью и осью

£

отрицательны по

всей дли­

не нити. Удовлетворяя в этом

случае

с помощью решения уравнения

(П.127)

второму условию (П .102), находим

2 хеп 2* жп I(

,j -0

2f f

In [ l+ S j(l-ff)] j,

0 £ S&l.

(П .133)

Здесь величина

определяется

согласно

соотношения (П .128). Под­

a j0

ставляя выражение

(П .133)

в выражение

(П .1 2 3 ),

можно определить

заглубление нити

X = X

•

С л у ч а й

П.

Пусть конфигурация нити имеет минимум. Тогда

для

S

- координаты точки минимума можно получить выражение

3 7

/

7 [ 1+а_

2гг„ /<*„,/+%

(1 -a . ) J

aZ

•

2яп /

<

*

,

7+a.)J

* /

1 -а .

(ГГ. 134)

=

у !

В

области о

<6 е.6

угол d

определяется

соотношением (П ЛЗО ).

В остальной области для угла

ы.

имеем

Ы *

2■daа {}[/+ * { (7U-&JJе)]а-~--

[JL +'* ^* (U(7-6o-)]>]а~ ‘

Xj {(7+ а_)/'г+я/ (’-&)]

(l-a_)[1+Xf (!-&)] °-J ’

ff £ 6 £ 7.

(П .135)

Таким образом,

в

случае П при

О < е

< ;

соотношения (ПЛЗО) и

(П .135) определяют угол наклона нити к оси

f

по всей длине

нити.

Подставляя соотношения (ПЛЗО)

и

(П .135)

в

выражение

(П .123),

нахо­

дим заглубление

нити

у =

Пусть угол между нитью и осью

f

отрицателен по

всей длине

нити.

В этом случае

- (Па_)[2sen/a</+*f

(7-а_)]J{[ / < * * / +

+ aef

(l+a_)][i+arf

7

О £ S' £ ].

(П .136)

Подставляя выражение

(П .136)

в

выражение

(П .123), можно определить

заглубление нити % = %т .

С л у ч а й

Ш.

Пусть конфигурация нити имеет минимум. Тогда

для

€

- координаты точки минимума и угла

ы.

слева

и справа от

нее

соответственно

получаем выражения

ё- H-L-JLexp f

apf

*2sen / d * li

f

(П .137)

*2

(

d ,d 2 { [ U x / ( 1 - e ) ] y l - [l-^

g - 6 ) ] ^ }

^1[i+^/ ( h S ) ]y^+ d2 p + X j f l - i ? ) ] 1^

(П.138)

О £ в £ в ,

Х у { l n [ l + X y ( 1 - 6 ) ] ~ In[ l + X j ( J - G ) ] ]

2 x n { 2 ln [u ,Ty (r-s)J- ln[7-fXj (?-§)]]

(П .139)

ff

T il.

Подставляя

соотношения (П .138)

и (П .139) в

соотношение

(П .123),

можно определить в рассматриваемом случае

координату ^ (6 )

. При

отрицательных углах между нитью и осью

f

по всей длине

нити вира­

жение для

ы. запишется следующим образом:

* / { ( * / +2*п / ы* / ) 1п[

4 * п / ы* / } ^

2 х п (2xf t (Ху*2хп / d

j )

0 - s ) ] j

'

( П Л 4 0 )

О i 6 i l .

ны с помощью асимптотического метода

в

качестве первого приближения

по параметру со .

П р и м е р ы . Пусть с<#= 0 и

и

- соответственно площадь

тела. Введем

обозначения

'Г = —

1Я KfdL

W

2 w '

(П .141)

0

~ Х п * Р $

В результате,

используя определение

(П .29) для

гу , выражение

(П .125) для d

и определения

(П .126) для

и а

запишем в виде

d - Ы.Ыл

( * , * 1 - 5 )

+ - (т ) ‘

1

(П .142)

—■ --------- -

-1-------

—1 я\

’ 2

d r (Tt

+ 1 - 6 )

+ + d 2 (% ) а+

d

W0

ал г .dy

(П .143)

’ d2~

~ 2 eJ

Величины %(б)

на основе формул

(П .123)

и (П. 142) рассчитывались о

использованием ЦВМ для следующих безразмерных параметров:

Ю3£у = 2 ,6 1 ; 9 ,1 6 ;

10-г , =

0 ,1 9 ;

0 ,3 7 9 ;

0 ,6 6 3 ;

1 ,3 3 ;

3 ,0 3 ;

6 ,0 7 ;

1 0 ,6 ; 21,2;

W3 W0 = 0 ,0 7 3 ; 0 ,1 4 7 ; 0 ,2 1 9 ; 0 ,2 6 ; 0 ,4 4 4 ; 0 ,5 1 8 ; 0 ,7 8 1 ;

1 ,0 4 ; 1 ,5 6 ; 2 ,0 8 ; 3 ,1 2 ; 4 ,1 7 ; 6 ,2 5 ; 8 ,3 3 ; 1 2 ,5 ; 25.

Типичные зависимости

представлены на р и с.1.

Величину ы (б )

с помощью формулы

(П .142)

рассчитывали при следующих значениях