Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

7

*Г

+ s<f)2 cts +

J j Z - t 3<f>/(Z+s<p) ds --J ( i

s

s

"Г

jo

3 v

n

Исюгочая отсюда величину

с

помощью выражения (1 У .П 9 ), на­

ходим

(1У Л 20)

о

т

Аналогичным образом получаем

г

(%+ $р)2sds ■

J / z + s<f/(z+sp)safs = -J

о

J7 (z+sffs

.

4г /о

3*Z to

3 .

.

+ ( Z * S f ) P

Z ( Z + s y ) 3 11

4<f2 fi

• v

, ,

Исключая отсюда величину

s

с

помощью соотношения (1 У .1 1 9 ), нахо­

дим

J

j

Z + s<f>jl'Z + s<pj sds *

(1У .121)

0 Z 4 + ( 3 1 < f> -Z )(Z + ly )3

12 у г

в уравнения (1У .93)

Подставляя соотношения (1У .120)

и (1У .121)

и (1 У .9 4 ),

соответственно

получаем

( % . 2 mel ) i

+ ( f

l

. mei )

I f

,

p0 - 2 / w/ i -

■ z i + a - r i y ) t

( 1У Л 22)

mP0'lm /l'

J c ‘

<f =

(1У Л 23)

*n P d l(31r-Z )(Z +7f)3-Z 4

7ГР

G помощью определений

(1 У Л 00)

-

(1У Л 06)

уравнения

(1У Л 22)

и (1У Л 23)

в безразмерном виде

запишутся следующим образом:

{Г р +2Р ) * + ( Р

р

=

(1У Л 24)

=

_ i L t L t i U l ,

4

3 f

’

2 ( Р р

+<“ ) %

+ 2 (< “ р

< § t “ )

Y + - J - Y -

_ Z-Гиг

( * - З г ) ( ? + г ) 3

(1У Л 25)

4

6<j>2

Таким образом, для трех различных случаев

(1 У .9 5 ),

(1У Л 09) и

(1У Л 16) в

безразмерных;

переменных

в

явном вице записаны соответ­

ственно уравнения (1У .107)

и (1 У .1 0 8 ),

(1У .114) и (1 У .115), (1У .Т24)

и (1У .125)

для определения

величин 5 и

у

.

Зная величину

, с

помощью соотношения

(1У .43)

можно определить

величину максимальной

стрелки прогиба А .

В общем случае решение уравнений (1У .107)

и

(1 У .1 0 8 ),

С1У.114) и

(1 У .1 1 5 ), (1У .124)

и

(1У .125) может быть полу­

точенного

груза

( 1 = 0 ,< и р

=0.

Ц У .126)

Сначала

рассмотрим случай

(1 У .9 5 ),

(1У .107) и (1 У .108). С уче­

том условий

(1У .126)

уравнения

(1У .107) и

(1У .108) перепишутся в

следующем виде:

i Z +

+

о

4

=

(1У .127)

3

ь

—

2

т

4

= О.

(1У .128)

2

Разрешая уравнение (1У .127)

относительно % и учитывая, что

согласно

(ТУ .95)

должно быть

£

>0

,

находим

i

= I/

4

у2

i

(ТУ .129)

*

'

12

' 2

Пусть

имеет

место

условие

Г 2

«

1.

(ТУ. 130)

Тогда, проводя в

3 (1 */иг)

разложение

и пренебрегая

соотношении (1У .129)

в полученном выражении величинами порядка

у>4 и выше,

получаем

V^Tw

t _

? 2

.

(1У .131)

2

2

12 у 1* / w

Подставляя соотношение (1У .131)

в

уравнение (1У .128) и приводя

затем подобные,

находим

Л + ) Ш Б 6, + R < f -

*

= о .

4

$

у I

3 6 y lT ft=г +

iur

144 (1+fw)

Пренебрегая здесь

в силу

(1У .130)

четвертым и пятым слагаемыми,

получаем следующее уравнение:

= —

------

( 1 - 2 7

9 ) .

(1У .132)

« +

2 У Т Г ^

1

17* ? )

Решая полученное уравнение и удовлетворяя с помощью полученно­

го решения условию

’ Д . * о

= о

(ТУ.133)

‘

приходим к

следующему весьма простому соотношению

V -~ —f l - e x p f -

__

(1У .134) .

Из выражения

(1У .134)

следует,

что

угол

f

является убывающей

функцией как параметра

,

так и

.

Пусть

имеет

место нера-

венство

3 7 *

*+

«

/.

(ТУ .135)

Тогда, проводя в выражении

(1У .134) разложение

экспоненты в рзд

и удерживая при втом слагаемое,

пропорциональное

^

,

получаем

з и

f

,

з Ге

tt

ч

(1У .136)

/-

2 г тгй .

ПУСТЬ

-

0.

(1У .137)

Тогда

соотношение

(1У .136)

так

же,

как

и соотношение

(1 У .1 3 4 ),

принимает

следующий ввд:

г

т-

(ТУ.138)

2 У 1 + й

Подставляя выражение

(ТУ .134) в

неравенство

(ТУ.1 3 0 ),

записы­

ваем

3 ехр

-

е 7е ч

V1+7i

«

и

4

( ^ 7 4

2

>0 ,

Полученное неравенство выполняется при всех

если оно

выполняется при

t+ - 0 . При

t+ = 0

неравенство

имеет

вид

3

1.

(ТУ.ТЗЭ)

4 ^ 7 Ч

г

Рассмотрим случай

(1 У .1 0 9 ),

(1У .114)

и

(1 У .1 1 5 ).

С учетом усло­

вий (ТУ .126)

уравнения

(Т У .П 4)

и

(1У .1Т5) запишутся в

ввде

V

.

Тщ-1

(ТУ .140)

Ъ г + Ч> +

(ТУ.Т4Т)

Отметим,

что

поскольку

для существования решения системы уравнений

(1У .140)

и

(1 У .14 Т ),

удовлетворяющего

условию

(1 У .1 3 3 ),

заведомо

должно, быть выполнено

условие

v

(1У .142)

/ш

Разрешая уравнение

(1У .140)

относительно

£

и учитывая, что

согласно (1У .109) должно быть

\

< о

,

получаем

(

- S . .

з< Ги ,-»

(1У .143)

2

Пусть

выполнено неравенство

Ф2

« 1 .

(1У .144)

Тогда,

проводя в соотношении

(1У .143)

разложение

и пренебрегая

в полученном выражении величинами порядка

выше,

находим

Ф

Фг

(1У .145)

2

2

+ «

^

7

Подставляя выражение

(1У .145)

в уравнение

(1 У .1 4 1 ), имеем

п

Ул .

_

Г

=0.

6

4

2

3 e y f ^ J

t * 4 (Twr i )

Пренебрегая в полученном соотношении в силу

(1У .144)

четвертым

и пятым слагаемыми, записываем

d4>

3

(1У .146)

e ft

2 VJwr>

Решая полученное уравнение и удовлетворяя с помощью полученного

решения условию

(1 У .133),

находим

(1У .147)

Из

соотношения (1У Л 47)

следует,

что

угол

f

является

убывающей

функцией как параметра

,

так и р

.

Пусть

имеет

место

неравен­

ство

3Ге

«

1.

(1У .14В)

Тогда,

проводя в выражении

(1У .147)

разложение

экспоненты в ряд

и пренебрегая в

получении

соотношения

величинами,

пропорциональ­

ными

и.

выше,

получаем

3t+ =• ( f -

Щ

к =

)

(1У .149)

2Vjut~-1 ''

гУ т ГР '

Пусть

имеет

место

соотношение

(1 У .1 3 7 ).

Тогда выражение (1У .149)

так же,как

и выражение

(1 У . 147),

принимает

следующий вид:

3t+

Y =

(1УЛ50)