Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

Таким образом, в рассматриваемом случае задача

сведена к

реше­

нию системы

(/V

+

I )

уравнений (1У .1) и (ГУ .2)

для определения вели­

чин Z

л f

,

i

=

I , 2 ...............м . При этом величины

Л ,

и

Qk

определяются

соотношениями

(1 У .З ), ( 1 У .4 ), ( 1У.20) -

(1 У .

2 3 ), ( 1 У .2 5 ),

(1 У .2 6 ),

(1 У .3 6 ),

(1У .38)

и (ГУ .3 9 ). Зная углы

^

,

величины мак­

h™ = I

(1У .40)

Отсюда при малых fk

А?

тЧ ъ / -

(1У,41)

Решение указанной выше системы уравненmi представляется целе­

сообразным получить с использованием ЦВМ

(поскольку, например,

уже при

N = 2

получение

решения

этой системы

аналитическим спосо­

бом оказывается

затруднительным.)

В соотношение для потенциальной энергии упругой деформации ни­

ти (1У .4)

входит постоянная

С .

Определим приближенно

связь

этой

постоянной с

изгибной жесткостью

нити £/ . Рассмотрим

случай,

ког­

да все

стержни

(см .р и с.6 )

составляют с

осью

х

одинаковый

по моду­

лю угол

(

f

или - < f,

Тогда для

упругой энергии

у /

,

приходящейся

на два

соседних

стержня, согласно

принятым выше допу­

щениям запишем

V j

=

4С9 *.

(1У .42)

Очевидно, что при малых

f

максимальная величина прогиба

стер­

жней Лт связана с углом

у

соотношением

h m=i<p.

21

(1У .43)

Далее

рассмотрим отрезок

нити длиной

,

характеризуемой

по­

перечной жесткостью

Е I

. Энергия

/у7

его

упругой деформации

имеет вид /8 2 ,

136,

1377

Я

[

‘( i f * ) * * '

(1У .44)

»

2

I

\ дх2)

положен вдоль оси х , z -

смещение нити из равновесного положе­

ния. Введем безразмерные переменные

jp

Г £ — ■

(1У .45)

21

4

21

придадим следующий

С учетом определений. (1У .45)

выражению (1У .44)

вид:

w .3 = £ 1

Г ( l i z ) * ? .

(1У.46)

«

41

J (

d f t )

В качестве Функции

выберем Функцию

(1У' 47) ,

Нетрудно видеть, что

есть

максимальное

значение

величины

f , которое достигается

при f

=

0 ,5 .

Заметим,

что выражение (1У .47)

удовлетворяет уравнению

равновесия

балки /136,

1337 с постоянной

по длине распределенной нагрузкой

и следующим краевым условиям:

■

- Я

с = /

г

- И

= 0.

(1У .48)'

f

'

‘г

Величину 2 определяем из

условия

равенства величин максималь-

7 /71

ных стрелок прогиба стержней и рассматриваемого отрезка нити. В

результате получаем

<р

(1У .49)

? т ~ 2

Подставляя выражения

(1У .47)

и

(1У .49) в

выражение (1У .46) и

интегрируя, находим

/

6 4 П ? 2..

(1У .50)

51

Приравнивая выражения

(1У .42)

для

У? и

(1У .50) для

W? , на­

ходим связь постоянной С

с

величиной

'£1

:

С - 3 ,2

И ,

т . е .

С

(1У .51)

г

г

Схема задачи изображена на

ри с.7 , где

I -

длина каждого

стержня,

те и

w -

соответственно эффективная масса

и плавучесть

единицы

длины. Левый конец

стержня

I может без трения скользить вдоль оси

z ,

правый конец стержня 2

может без

трения скользить вдоль пря­

мой

г = Z

, где

Z есть

%-координата левого конца стержня.

В точке шарнирного

соединения стержней расположен сосредоточенный

груз

Р0 . Рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы.

В

качестве обобщенных координат

этой системы выберем величины

Z

и

f

. Подставляя

соотношение

(1У .51) в

соотношение (1 У .4 2 ),

полу­

чаем выражение для потенциальной энергии

системы

r, = Zez + Js i >

=

costpT. +sintpTj. '

О i s a

l ,

(1У .53)

r ^ Z e ^ l y s t ; ,

e^ = costp ?x -s/n

<pe t

о £

s *

i.

(1У .54)

С помощью соотношений

(1У .53) и

(1 7 .5 4 )

получаем

Последовательно находим

,

г .

J r /d s =

I ( Z z + Z l<j>cos<p / г 2? 2 )

(1У .59)

- T ~ J ’

r

2j

= Z 2 * 2 Z U p c o s y > ■+ l 2 <f2 ,

(1У.60)

J

~r2d s= l^ Z 2+ Z h fc o s Y -t^ -c o s 2 < p Jl2f Jz .

(1У .61)

Подставляя соотношения (1У .59) - (1 Г .6 1 ) в соотношение

(1У .58),

щенные координаты

Z

и </>

:

Т?

v те^%1<рсоз<р+

'/£'■?Y/-

(1У .62)

Пусть

квадрат угла

у

мал по сравнению с

единицей,

Y2

« ? .

(1У .63)

Тогда соотношение

(ТУ.62) принимает

вид

■t (Л - у. !HjlL\ г2<f2 .

(ТУ .64)

\ 2 д

3

J

ъычислим обобщенные силы Q-

и

рассматриваемой системы,

соответствующие

обобщенным координатам

Z

и <р

. Имеем

rjp

(1У .65)

о* =q-,e *aJP’

’

(ТУ .66)

где

и

Ц-

-

^

V

V

сил,

обусловленных сосре­

составляющие

обобщенных

доточенным

грузом

Р0

, Q^p и

Q^p -

составляющие обобщенных сил,

Определим величину $z>

l

dr,

с = -

I ez ■

d s

j z

I

о

(1У .70)

" T ^ jf

1 К * , 1

(% '* ,)(* , • - % ) * >

щей относительной скорости,

Кп

-

коэффициент

сопротивления нити,

р

-

плотность жидкости,

d

-

диаметр нити.

С помощью соотно­

шений

(1У .53) и (1У .55)

находим

dr,

Z c o s f + s f ,

Jr ,

cos ?■

(1У .71)

■z ■- j £ - 1 , n ^

/у

JZ

Подставляя соотношения

(1У .71)

в

выражение

(1 У .7 0 ),

находим

п!!Р

= m l -

Кп p d c o s f

=

~

dfiCOSCf^Jj

% C0Sf + I f COS2f-

- S f /

i /

i

0

\

(1 У .75)

/

Z cos f

+ i f cos 2 f

- s f )

ds.

Для величины Q Sp

имеем

q l/>. Q'-p r q

’JP

(1У .76)

4 f

4 f i *р г >