Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

где

функция

ft

{

I ,

Т ,

Xй ,

х ы

,

z

,

q

)

определяется

соотноше­

нием ( 1 ,8 2 ) ,

величина

(

I ,

Т

,

х *

,

z

, q, ) - произвольная

функция своих аргументов. Подынтегральной функции в функционале

(1 .9 4 ) соответствует

пространство

искомых функций

( Г ,

х *

, z ,

q, ) .

Варьируя действие

( 1 .9 4 ) ,

в

качестве

условий

его

экстремальности

получаем систему

уравнений

(1 .9 0 )

-

(1 .9 3 ) ,

а

также следующее усло­

вие

на краях интервала интегрирования:

Г '

08*j\

- JQ tl da -

/f aft

ds*d ) S x * -

г

- dz

dq.

*

( dx*

ax

1(2)

08*7

08*7 )

,n

7

= 0 .

(1 .9 5 )

- ft -

]

ат

У d x л

01 J

J / m

явно

не

вхО'

циклическая , т .е . величина z

дит в функцию Гамильтона. Вследствие соотношения

(1 .8 6 )

она не

вхо­

дит явно также и в функцию Рауса.

Импульс,

соответствующий

цикли­

ческой

переменной

z

, согласно

уравнению

(I .9 1 ),

сохраняет

свое

значение

=

co n st,

(1 ,9 6 )

где

ч

- постоянная интегрирования.

Подставляя

соотношение

(1 .9 6 )

в функцию Рауса

(1 .8 2 ) ,

получаем

-*J] 9 33(Ч0 -Ф3 У W’W d T .

(1 .9 7 )

х * = х

(1’ х О’ *0

’ ^0’ ^0^ 1

(1 .9 8 )

Т - Т (

Тв , 90 ).

Величины

Т

i

и

суть постоянные интегрирования. Подстав­

ляя

соотношения

(1 .9 8 )

в

функцию Рауса (1 .9 7 ) , имеем

8 ~ d j l , Т(х*,х *, fa i9’0) , x ‘<(Z,XQ,Xff >Тд , д,0),х

(I,x0 ,xg,ftg,f0),q^ jil,99)

Подставляя функцию Рауса

(1 .9 9 )

в уравнение

(1 .9 0 )

и интегрируя

получившееся уравнение,

находим

I

а а ■41,

(1 .1 0 0 )

- v /■ 0У„

где

%0 ж 10 -

л.

Отметим,

что не все из

постоянные интегрирования.

Связь между ними определяется

соотношением ( 1 .9 3 ) ,

записанным, на­

пример,

для точки

1= 10

-

С л у ч а й

Н. Расщепим фазовое пространство статики нити

на следующие три подпространства:

’> х 7,Р , ,

»

z ,<z ( x z,x 3),q.^(P2 .p3 )

(d=jl2)t

(I .I O I )

3)

Г.

Тогда выражение для действия (1 .4 4 )

и функция Гамильтона

(1 .2 4 )

примут

соответственно

bkoj;

S ~ [

(Р ,*,+ Ь

* - н > а !!>

( 1 .1 0 2 )

^ ( Р г Ф , ) * 29 Ы(РгФ ,)(Чл -Фл) ' ^ ( Я е - в с M fi ~

СГДОЗ)

Необходимыми условиями экстремума функционала ( I .I 0 2 )

и

( I .I 0 3 )

является соотношение ( 1 .8 0 ) ,

а

также такие

условия:

х 1= М . ,

'

( I .I 0 4 )

dpj

р

= - Ш -

(1 .1 0 5 )

п

Зх'

%*= вН

(1 .1 0 6 )

I*

*Чл

_

дН

(1 .1 0 7 )

9

=

- ' ^

дх°

Функцию Рауса введем следующим образом:

Л ~ Н ( 1 ,Т ,х т,р } ,х*,<1л ) - р 1х 1.

( I .I 0 8 )

Здесь

гамильтониан

Н определяется

соотношением ( I . ЮЗ).Исключая

с

помощью уравнения

( I .I 0 4 )

импульс

р

из

выражения для функции

Рауса

( I .1 0 8 ), получаем

л (1 ,г ,х > ,х ’, * * , ь ) . * 0 и - х ’рг * J e 2 ± ( Г } а Т +

+2 f j j ^ [ j * ’*91А(Ъ > ~ ъ]~ 9 * * ( fc "9 к )(9 р - <pfi)}■

(1 .1 0 9 )

Проведем варьирование выражений

( I .I 0 8 )

и ( I .I 0 9 )

и отождест­

вим полученные при этом соотношения. Считая вариации

31

, ЗТ , Зх \

f x

1,

независимыми и учитывая уравнение ( I . I 0 4 ) ,

приходим

к

соотношениям (1 .8 4 ) и (1 .8 5 ) ,

а также

к соотношениям

dR

=

dH

( I Л Ю )

d z *

’

( I . I l l )

M . = J J L ,

( I . I I 2 )

d x 1

d x ’

i b - - " ' -

( I - I I 3 )

Подставляя соотношения ( I . НО)

и

( I . I l l )

в

канонические уравнения

( I .I 0 6 )

и

( I . I 0 7 ) ,

находим

д Чы.

( I . I I 4 )

^1 Л 1 5 )

С помощью соотношений

( I . I I 2 )

и

( I . I I 3 )

уравнение ( I .I 0 5 )

преобра­

зуем к виду

d

dR

dR

„

* Г 1 Р ~ и ж в -

(1 .И 6 )

Как и в случае I ,

здесь также

имеет место

соотношение ( 1 .9 3 ) . Та­

ким образом, переменным гамильтонова типа

( z * ,

q,^)

соответствуют

уравнения гамильтонова типа ( I .1 1 4 ) и

( I .1 1 5 ),

а переменным лагран-

жева типа

( х 1 ,

х 7) -

уравнение

Эйлера-Лагранжа

( I . I I 6 ) .

Получим уравнения

(1 .9 3 )

и

( I . I I 4 )

-

( I . I I 6 )

из

вариационного

принпипа.^ассмотрим следующий функционал:

S' = (

L z ^ - R ( i , T , x ’. i 7,

dS*2 a

J ’x l’ Z^ qd ) lca !

(1 .117)

J (j) /

ctt

J

"(i) ‘

где функция R (

Z,

T

, x 7, x 1 ,

х л ,

)

определяется

соотношением

( I . I 0 9 ) ,

величина

5 ^

-

произвольная функция своих

аргументов.

Подынтегральной функции в

функционале

( I . I I 7 )

соответствует про­

странство

искомых функций

( Г

,

х 7, z d , q

) . Варьируя функционал

„

d z°y

d ^

- f ~ +

_££s*) f *7-

*

9* [ a i t *

d x i )

- * * £

s r J i 7

d l j

. 0 .

( 1 .118)

d r

(

d x T

J j (i)

Пусть

переменные

z * циклические,

т .е . величины

z u явно

не

входят в

функцию Гамильтона

( I . I 0 3 ) . Вследствие соотношений

(1 .1 1

0 )

они не входят явно и в функцию Рауса

( I . I 0 9 ) . Импульсы

^

соот­

ветствуют

циклическим переменным

х л

, тогда в

силу уравнений

( I .115) они

сохраняют

свои значения:

“ 9 d o = Donst»

( 1 .1 1 9 )

где

-

постоянные

интегрирования.

Подставляя соотношения (1 Л 1 9 )

в функцию Рауса

( I . I 0 9 ) ,

записываем

* ( и , х \

w =

j £ 2 w ( i ) d u

+2 ? l g ri[ ' £ X,* ff

ЬсГ & с)(V

'^ v /

( 1 .1 2 0 )

Подставим функцию Рауса

( I .I 2 0 )

в уравнения

(1 .9 3 ) и ( I .1 1 6 ) . Реше­

ние полученной

системы уравнений имеет вид

х 7= х 7(1,

Ха7 , х 7, Тв ,

9л д ), Г* Т(1, х 07 , х 07 , т0 , ^ д ) .

( I . I 2 I )

Величины

х 7 ,

х 7

, Т0

суть постоянные интегрирования.

Подставляя

соотношения ( I . I 2 I )

в функцию Рауса ( I . I 2 0 ) ,

получаем

^ ~ «

[ ,

Т(1, Хд, Хд,

Тд, УЫд), Х 7(1,Хд, i g’

j g ,

^Ыд) ,

i 7 ( l , x l , X g,Tg,7

ф^д) , ^ g j .

^1 • 122 )

Подставляя функцию Рауса

( I .I 2 2 ) в

уравнение

<1.114)

и интегрируя

получившиеся соотношения, находим

.

(1Л23>

£де Хд и 10 - постоянные интегрирования. Здесь, как и в

случае I ,

ду

ними определяется

соотношением (1 .9 3 ) ,

записанным,

например,

для

точки 1 = 1 .

3 . Гибкая нить на поверхности, заданной одним соотношением

И с х о д н ы е

у р а в н е н и я .

Пусть нить

находится на

поверхности, уравнение которой имеет вид

Ф ( х 7, х 2, х 3) - 0 .

( I .I 2 4 )

д ф

( I .I 2 5 )

. г

*о<1)

д х ‘

где

нити,

г .

- сила реакции поверхности в

расчете на единицу массы

у г

-

скалярный множитель. (В рассматриваемом случае индекс

у

не пробегает

значений

I ,

2

и 3 .)

С учетом силы реакции поверхности

( I .I 2 5 )

уравнения равновесия

нити примут вид

•

*

•

*

’

* ' ] '

*

* „ f l)F i

+ ?r

= °

■

( 1 . 126)

Как было условлено

выше,

для

силы

Р

справедливо

соотношение( 1 .6 ) .

Таким

образом,

в

рассматриваемом

случае

система

уравнений

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и

( I .I 2 6 )

служит для определения пяти величин: натя­

жения

Т ,

координат

х ‘ и скалярного

множителя

.

Зная величины

и

х 1

,

с

помощью соотношения

( 1 .125)

можно определить

силу

реакции поверхности в расчете на единицу массы нити.

В а р и а ц и о н н ы й

п р и н ц и п

д л я

у р а в н е ­

н и й

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и

( I . I 2 6 ) .

Получим уравнения

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и ( I .I 2 6 )

из

вариационного

принципа.

Рассмотрим функционал

S = f

L r d l ,

( I .I 2 7 )

Z r= z : _

<г' т, х 1- ?г>

>

( I .I 2 8 )

0

oil

<1 Л 2 9 >

где

величина

L0

определяется

соотношением

( I . I 6 ) ;

8л 3 -

произволь­

ная функция своих аргументов.

Подынтегральной функции ( I .I 2 8 )

и

( I . I 6 )

соответствует

пространство

искомых функций

Т

,

х ‘ и

уг .

Экстремизация функционала ( I . 127)

-

( I .I 2 9 )

приводит

к

уравнениям

( 1 .3 ) ,

( I .I 2 4 )

и

(I .I 2 6 .),

а

также

к

следующему краевому условию:

dS,* з

f -

9,

t fx 1

дТ

mk

d x m0

dSf3

( I . 130)

<?7r

/

j

i

m

Г а м и л ь т о -

К а н о н и ч е с к и е

у р а в н е н и я

н а .

Запишем канонические

уравнения для нити,

находящейся на по­

верхности,

которая задана

соотношением ( I . I 2 4 ) .

При этом будем ис­

ходить из

лагранжиана

L 0r

,

определяемого

соотношением

(1 .1 2 9 )- .

Тогда для импульсов

р .

,

сопряженных координатам

,

для

произ-

водных

х ‘

и для импульса

р

сопряженного

натяжению

Т

,

полу-

чаем соответственно

выражения

(1 .2 0 ) ,

(1 .2 1 )

и '(1 .2 2 ) .

Импульс р }

сопряженный

скалярному множителю

уг

,

как

и импульс

Рт ,

сопря-Г

женный натяжению

Т

,

равен

нулю,

( I . I 3 I )

Р ? = 0 .