Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

И

i

Рк - £ 0

( 2>Т ’ х1>

* 1)- 7 г ф (х *>>

( I .I 3 2 )

'

где

величина

L0 определяется

соотношением

( I . I 6 ) . Исключая

из

соотношения ( I .1 3 2 )

величины

х 1 с

помощью выражений ( I . 2 I ) ,

полу-

чаем

н

( г , г , * \ р /1'? г ) = / / ( 7 , г , х * , р л ) - у ?гФ (х *),

(1 Л З З )

где

величина

Н

( Z

,

Т ,

х к, р

)

определяется

соотношением (1 .2 4 ) .

Систему канонических уравнений равновесия нити на поверхности,

соответствующую гамильтониану

( I . I 3 3 ) ,

образуют

уравнения ( I . 2 I ) ,

(1 .3 3 ) ,

( I . I 2 4 ) ,

а также

следующее:

0Ф

д и

д х '

Ь Ь [ 9 ™ (р ™ ф'” ) ( р ” - ф" )} '

(1 Л 3 4 )

В а р и а ц и о н н ы й

п р и н ц и п

д л я

к а н о н и ­

ч е с к и х

у р а в н е н и й .

Получим систему канонических

уравнений равновесия нити на поверхности

( I . 2 I ) ,

(1 .3 3 ) ,

(1 Л 2 4 )

и ( I .I 3 4 )

из

вариационного

прищепа.

Рассмотрим функционал

■Lп)

Г г d l,

(1 .1 3 5 )

/~ = 7 ? _

as,,з

(1 ,Т ,х \ , ?г )

(1 .1 3 6 )

0

d l

’

l ,

Т ,л * ,

Lo

^

mPm - H r( h T , x \ p k , Vr) ,

( 1 .137)

где

и (

p

,

у

)

определяется

соотношениями

(1 .2 4 )

и

( I . I 3 3 ) ,

St 3 (

l

Т

,

х * ,

рк ,

)

-

произвольная функция своих

ар­

гументов.

Подынтегральной функции

( I .I 3 7 )

соответствует

простран­

ство

искомых функций х 1 ,

р . ,

Т

и

у .

Варьируя действие ( I .I 3 5 )

( I . I 3 7 ) ,

в качестве

условий его экстремальности получаем канони­

ческие

уравнения

( I . 2 I ) ,

(1 .3 3 ) ,

( I .I 2 4 )

и ( I . I 3 4 ) , а также

крае­

вое

условие г ,

_

is.* з

л

-

^

W

-

dS* 3 <ГТ -

S x * J

дТ

)(2>

И ,:

E d T - x 0 U - dS.*a

П

= о .

%

(}■

d l J -

J / d )

"

( I -138)

У р а в н е н и е

Г а м и л ь т о н а - Я к о б и .

Получим

уравнение Гамильтона-Якоби

статики неоднородной

растяжимой гибкой

нити, находящейся на поверхности,

которая

задана соотношением

( I . I 2 4 ) .

При атом будем ^исходить

из

функционала

*

S - Г

[р^ х * - М г(!, Т, x

i,p i , yr )7 d l ,

( I .I 3 9 )

где гамильтониан Н

определяется

соотношениями (1 .2 4 )

и

( I . I 3 3 ) .

В результате,

проводя цепочку

рассуждений,

аналогичную соответствую­

щей цепочке рассуждений в параграфе

I,приходим к соотношениям

(1.46)-

(1 .4 8 ) . В

рассматриваемом

случае

одна из компонент вектора импульса

является линейной функцией двух других компонент. Действительно,

продифференцируем уравнение

( I .I 2 4 )

по

Z

и исключим из получивше­

гося соотношения производные

х 1 с помощью уравнений ( I . 2 I ) ;

раз­

решая результирующее

соотношение

относительно

р3 , находим

р _ ф - _ Ф *(Ъ г< М

рз

Ф3 -

фв

РФ

( I .I 4 0 )

ФА д Ф

Ф .

k m у-л

При получении

соотношения

m *

TJ7

Охо л '

*

( I .I 4 0 )

было предположено, что

Ф 4 0 .

Как и ранее,

за

исключением

специально

оговоренных случаев,гречес­

кие индексы принимают значения I

и 2 .

Аналогичным образом, полагая

ф>3 фо ,

с

помощью соотношения

( I .I 2 4 )

выражаем вариацию

Л г 1*через

вариации

сРх1 и

<Рх2 :

.

„ .

(1 .1 4 1 )

Подставляя

соотношения

( I .I 4 0 )

и

( I . I 4 I )

в

соотношение

(1 .4 8 ) ,

на­

ходим

,

Ф % - - Ф 1ч>1

ф

Л г '

tfS

= - Нd'L + ( р

ф%

~оС

( I .I 4 2 )

Отсюда следует,

что действие

является функцией величин

X

ж

I

,

S = S ( x * , l ) .

( I .I 4 3 )

Подставляя выражение

( I .I 4 3 )

в

соотношение

( I . I 4 2 ) , выполняя диф­

ференцирование и отождествляя коэффициенты при вариациях,

получаем

р

+ Ф_Р^~ФФ1ф

s

$

OS

( I . 144)

Ох°

Ф3Ф,

Н + ™ - 0 .

( I . 145)

01

Разрешая соотношения

( I .I 4 4 )

относительно

рл ,

имеем

Р *

= s«.

ф тф„

( I . 146)

о

=

OS

os

= О.

к

~ д х к

Ox3

Подставляя выражения

( I .I 4 6 ) в

соотношение

( I . I 4 0 ) ,

получаем

Р3

----- ^

•

( I . I 4 7 )

^

vw

С помощью соотношений ( I .I 4 6 )

и ( I .I 4 7 )

находим

р . . ф.=

ф

Фк (sr

<pi ) - n p mi</>m - s m)0 i

( I . I 4 8 )

ф пф„

Нетрудно убедиться в том, что

подстановка выражения

( I .I 4 8 ) в вы­

ражение ( I .I 4 0 ) приводит

к

тождеству.

Подставим в соотношение Cl•145) выражение для гамильтониана

(1 .2 4 ) и преобразуем

получившееся соотношение с

помощью каноничес­

ких уравнений (1 .3 3 )

и ( I .I 2 4 )

и выражения

( I . I 4 8 ) .

В результате

получим

1

‘

( I .1 4 9 )

f

ik f

ФЯФд (S j-ФО* ФЬ(9Ь-3Ь)Ф1

I

f

%.

//у,-

Ф Я * п (8 ъ -ф *)* Ф '(1 > * -Ы Ф *

1

/2

( I . I 5 0 )

ф Ч „

J

U

м и ( 1 , х л. х 3) /

.

,

я ( I . I 5 I )

Ф

/ ф ( х ы, х 3)~ 0

Соотношения ( I .I 4 9 )

-

( I . I 5 I )

представляют

собой искомые уравнения

Т е о р е м а

Я к о б и

д л я

у р а в н е н и я

( I . I 4 9 ) -

( I . I 5 I ) .

Пусть соотношение

S =

s ^

s 1 ( 1 ,х * ,х ^ )

,<* = !,г ,

( I .I 5 2 )

где SD и хл - произвольные

постоянные,

представляет

собой полный

интеграл уравнений

( I .I 4 9 )

-

( I . I 5 I ) .

И пусть отличен от

нуля сле­

дующий гессиан:

d ^ S ’ n , х и, х ^ )

дх. ^ дХр

Ф0.

Тогда общий интеграл системы канонических уравнений

( 1 ,2 1 ) ,

(1 .3 3 ) ,

( I .I 2 4 ) и

( I .I 3 4 )

определяется

соотношением

( I . I 2 4 ) ,

а также

следую­

щими соотношениями:

8

s 1( l . x * , x e t) _

( 1 . 153)

р

ф *ф*

(s/ ~

( I .I 5 4 )

r t

~L

Фпф

’

- г

г

/

/

J

где f

-

произвольше

постоянш е.

Доказательство

сформулированной

теоремы Якоби для

уравнений ( I .I 4 9 ) -

( I . I 5 I )

аналогично проведен­

ному в параграфе I доказательству теоремы Якоби для уравнений

( I .5 2 ) f

(1 .5 3 ) .

4 .

Гибкая нить

на поверхности,

заданной по Гауссу

И с х о д н ы е

у р а в н е н и я .

Пусть поверхность,

на

которой

находится

нить, задана по Гауссу

• х (и * ), сС -1 ,2 ,

( I .I 5 7 )

где и

-

произвольные криволинейные координаты на поверхности.

Запишем уравнения равновесия нити на поверхности в рассматри­

ваемом представлении. При этом будем исходить из

уравнений (1 .3 ) и

( I . I 2 6 ) ,

полагая, что задание поверхности о помощью соотношения

( I .I 2 4 )

соответствует

ее зад аю т

с помощью соотношений ( 1 .1 5 7 ), и

поначалу

не конкретизируя выражение для силы

F-

. Подставим соот­

ношения

(1 .1 5 7 ) в

уравнение ( I . I 2 6 ) .

Умножим получившееся соотноше­

ние на

{ d x 1 / d u *

) , проведем суммирование

от I

до

3 и учтем, что

в оклу геометрического смысла координат

имеет

место условие

дФ

Лгг

= О.

( I .I 5 8 )

d x i

du°