Файл: Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 50

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

то переход от предварительных координат каждого пункта урав­ ниваемого хода (вычисленных по результатам непосредственных измерений от исходного пункта) к их уравновешенным значениям осуществляется по таким формулам

Рис. 51. Схема сети из векторных ходов

(2.250)

Если ход близок к равностороннему, то тогда

1

і ;

Y ,= ■ - ¥ ) - fy J -

 

п

п

 

 

Z/ = Z'j — f z ~

(2.251)

 

1

п

 

При этом ошибка

единицы веса, опреде­

ляемая по

материалам

уравнивания,

будет

равна

 

 

 

 

 

'у9 ' г-

(2.252)

 

 

3П п

 

Из

рассмотрения

соотношении

(2.246) —(2.251)

видно, что

при соблюдении принципа равного влияния (2.230)

становится пра­

вомерным

и строгим

раздельное

распределение

невязок

в при­

ращениях

координат

сети. Это

обстоятельство

значительно

облегчает задачу уравнивания и допускает возможность

приме­

нения

способа полигонов В. В. Попова [52].

 

 

 

Так, если придать каждому ходу векторной сети, изображен­

ной на

рис. 51, вес, равный р , = ---------- , то можно

будет,

поль­

з ъ зуясь правилами способа полигонов, написать по чертежу сети

систему нормальных уравнений. Для случая, изображенного иа рис. 51, эта система предстанет в виде

и т. д.

140

Решение этой системы дает соотношение

 

, Кг* \

Q u

Q l 2 Q13 • • • Q 15 \ / f ,A

 

 

I Kir

'

Q l 2

Q

2 2

Q - 2 3

■

•

. Q 2 5

\ / „ A

(2.254)

 

к ях

 

Q i 3

Q

2 3

Q 33

■

■

- Q

35

/ . I .

 

\ к , : )

Q i B Q 25 Q 3 5 • ■ . Q 5 5 / \ K ,

 

где квадратная матрица Q есть обратная

матрица

системы нор­

мальных уравнений

коррелат.

 

 

 

 

 

и другие невязки Uy и

Аналогичным

образом

распределяются

}іг в полигонах сети с одной

н

той

же

системой

коэффициентов

в нормальных уравнениях коррелат

(2.253).

 

 

 

Поправки и приращениям координат по отдельным ходам сети

определяются на основании

(2.253)

по формулам

 

 

^ [ Д а ] , — [ М х і I ^ 1 л - >

 

И [ Д у ] , —

[ P z l 1

 

 

У [ Д г ] ,

 

 

|

 

Ѵ[&Х]. ~

[Pzla

 

^2л-)>

У[Ду]„ =

[Рд]г

 

^2J')> I

 

 

 

 

 

№

- * *

. )

 

 

 

[ '

<2 -255>

~

X lJ’

 

и[й!/1,

 

lW .ll ^ 23"

У[й2],

=

и ч із

^32 j

 

а поправки на отдельную сторону хода 1

составят

 

 

 

^Д.с(. =

f j |

К і х ,

ѴА х . =

fl[

Кіу,

ѴА г . =

_Кхг.

 

Переход от поправок приращений координат к поправкам непо­ средственно измеренных величин можно осуществить по формулам, аналогичным (2.248), а именно

vL. =

р|

(cos і|); cos Aj I\u. -f cos ip; sin Ai Kly + sin іід/фи)

 

 

Оф. =

P"

РІ (— sin ljj(- COS Л; Klx — sin l|); sin A;ATly -j- COS

K\z)

■

 

I

 

Li

 

 

 

 

 

 

n,.

 

 

 

%

=

P" Lt сбзЧТ (~

Sin Л/ Kl r + C0S Лі

(2.256)

 

 

 

 

 

Ошибка единицы веса, определяемая по результатам

уравнива-

ния,

будет равна

 

 

 

 

 

 

2

\Pl ѵі \ + [р'і.% I + [ р > л ]

(2.257)

 

 

 

і-1 =

з7

 

 

 

 

 

где г — число полигонов в сети.

141

В соответствии с (2.254) можно будет написать и общую для всей сети матрицу Q весовых коэффициентов итоговой (утроен­ ной) системы нормальных уравнений коррелат. Элементы этой матрицы расположатся симметрично друг относительно друга и будут равняться соответствующим элементам матрицы (2.254), причем

<2.ѴЛ = Q yt --= 0 .гі2 і = Qii

Qxixj = QuiUj = Qzi2j = Qj

(2.258)

 

Q x y = Qx-Z = Q yz = 0

 

Имея полную матрицу Q, вес любой функции уравновешенных

элементов системы можно вычислить по формуле

 

 

X

 

(2.259)

где F — частные производные искомой функции по результатам

измерений.

 

Уравнивание по методу условий выгодно применять для сетей с небольшим числом полигонов, но значительным количеством про­ межуточных точек в ходах. В противном случае следует исполь­ зовать способ косвенных измерений.

В этом способе, после вычисления предварительных координат пунктов сети, уравнения поправок к измеренным величинам име­ ют тот же вид, что и приведенные для уравнивания космической триангуляции (1.79—1.81).

Чтобы упростить вид уравнений поправок и соответствующих им нормальных уравнений, системе уравнений поправок измерен­ ных величин противопоставим эквивалентную систему

cos

cos A°k(ѵхк —vxi) -f cos ф!/;sin A°ik\vyk — vyi) ■

 

 

+ sin

(vzk -

vzi) + h ik = eL[k,

PL - ~

 

 

— sin f ik cos A°k(vxk — vxi) — sin

sin A°k (oyb — vyi)

 

cos v ik{vzk— vzi) +

 

C

= 8

 

■

cp-

 

L{ 4 ik

 

(2.260)

 

 

 

ill

 

'Ьь’

p*'~

Ц ,» ’

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

• sin A ° k

(vxk —vxi) -f cos A °u (V

k — U

i ) +

L°ik cos \pik ik

 

 

 

 

 

 

 

yU

 

 

 

 

=

 

P*

 

cp1

 

 

 

 

 

^ifcCOS21|Hk ml

 

 

 

 

 

 

 

 

142

Рис. 52. Геодези­ ческий векторный четырехугольник

решаемую под условием

 

 

 

 

L- cos'-1|

+

А

min.

(2.261)

 

 

.

 

J

 

В такой записи коэффициенты при неизвестных в уравнениях

поправок представлены направляющими

косинусами градиентов

измеренных величин, свободные

члены — уклонениями

прибли­

женных позиций точек от соответствующих поверхностен положе­ ния, а веса — весами поверхностей положения.

Обозначив в уравнениях поправок коэффициенты при неизвест­

ных буквами а,

b и с,

систему

(2.260)

запишем так:

a U ІРхк — Ѵх і ) +

Ь ц {Ѵук — Vyi) +

с ц (vzk — v zi) +

I ц

== 8и

a M (Vx/i

— 1

 

) +

b Aj

(

Vyk

Vyi)

+

l.\f

■= 8д/

(2.262)

Ux i

 

 

 

 

 

 

Ö1|V (Vx i —

Ux i ) ~Ь byV (Vyk

Vyi)

+

Cy,j (Vzk

Vzj) -\- ly,j

8ф

где ] — индекс стороны векторной сети.

 

 

 

В том

случае,

когда

точность

результатов

 

непосредственных

измерений

 

согласована

по

 

принципу равенства

 

влияний

(2.230),

и вследст­

 

вие этого Р2 = р'^=р'х = р,

матрица

нормальных

 

уравнений приобретает квазидцагональный вид. В этой матрице квадратичные коэффициенты при неизвестных будут равны сумме весов [р] сторон векторной сети, сходящихся в данном пункте, коэффициенты типа — [а,-аА,, — [bjbj

окажутся равными весу р, стороны, взятому со знаком минус, а прочие неквадратичиые коэффи­ циенты [аД;], [öjcj, [bjCj] будут равны нулю.

Это обстоятельство позволяет написать матри­ цу коэффициентов нормальных уравнений прямо по чертежу сети (рис. 52).

В силу равенства и полной симметрии коэффициентов при неизвестных ., Ѵу., ѵг. , а также из-за того, что корреляционные

коэффициенты, отражающие зависимость друг от друга искомых неизвестных, равны нулю, можно заключить, что погрешности по­ ложения искомых пунктов будут иметь сферическую форму. По­ рядок матрицы нормальных уравнений здесь можно понизить втрое и решить ее раздельно относительно поправок ѵх, ѵѵ и ѵ,.

Вместо определения полной обратной матрицы нормальных уравнений достаточно вычислить матрицу

/(Рі + P i ~+ Р з )

— P -г

—1

— Р з

Q' =

— Ра

(Ра + Р з + Р6)

— Рз

V

~ Р з

— Р з '

(Р з + Р і + Рй ) і

ИЗ

и искомые неизвестные определить из соотношении

Поправки к непосредственно измеренным величинам вычис­ ляются после этого из системы уравнений поправок, а ошибка единицы веса определяется по формуле

[Pl 41 + К 8ф~] +ІРлел]

(2.263)

п — k

 

Найденные весовые коэффициенты

как составляющие

элементы обратной матрицы нормальных уравнений, в итоговой сводной таблице расположатся симметрично, в силу равенств

Возможность понижения порядка матрицы при решении си­ стемы нормальных уравнений играет очень важную роль, и особенно при предварительных расчетах точности проектируемой сети, когда приходится сравнивать несколько вариантов построе­ ния. Сопутствующая этому обстоятельству сферическая форма ошибок положения точек предпочтительнее любого другого вида погрешностей положения.

В заключение остановимся на вопросах учета систематических ошибок измеренных длин сторон при уравнивании векторной сети. Эти ошибки могут быть вызваны инструментальными за­ держками, сдвигом частоты модуляции, погрешностью индикации разности фаз и метеорологическими ошибками.

При использовании радиодалыюмерных систем итоговую си­ стематическую ошибку в длинах сторон можно представить как сумму двух слагаемых

sL — oL-f- ЯВ,

(2.265)

из которых первое не зависит от величины измеряемого расстоя­ ния, а второе связано с коэффициентом систематического влия­ ния Я; учет таких ошибок выполняется исходя из характера их воздействия на результаты измерений (в зависимости от типа

144

используемой дальномерной системы и измеряемого расстояния в итоговой систематической ошибке может иногда превалировать то пли иное слагаемое).

В общем случае учет систематических ошибок sL может быть осуществлен путем введения дополнительных неизвестных в ус­ ловные уравнения поправок или уравнения ошибок измерений.

Так, если у нас L j — измеренная длина хорды, sL— ее система­

тическая ошибка, 6j — случайная ошибка наблюдения, L\

— вычис­

ленная по предварительным координатам пунктов

длина

хорды,

dLj — изменение длины линии в зависимости от изменения

коор­

динат ее концов,

то для окончательного значения

длины хорды Т'.

можно написать уравнение

 

 

 

 

Lj = Lj — Si -}- еj — Lj + dLj,

 

 

(2.266)

откуда

 

 

 

 

 

ej — Sl T dLj + {Lj — Lj).

 

 

(2.267)

Соотношение

(2.267) представляет собой уравнение

поправок

сучетом систематической ошибки sL.

Взависимости от характера влияния этой ошибки на измеряе­ мое расстояние в уравнения поправок может быть включено то

или иное слагаемое из (2.265), или, в общем случае, оба.

 

С учетом

равенства (2.267)

первое уравнение поправок си­

стемы (2.260)

приобретает вид

 

 

cos ф°*cos A°ik(ухк — ѵхі) +

cos фі* sin A ik(vyk — vyi) +

 

+ sin ф°* (vzk — vzi) + oL — ILik + h ik = e,Lik.

(2.268)

Если при измерении сторон сети использовалась разная

аппа­

ратура, со свойственными только ей систематическими ошибками уравнения поправок (2.268) будут содержать в каждом отдельном

случае свои значения sL.

измерений

по способу условий

При уравнивании результатов

в условные уравнения поправок

вводятся те

же дополнительные

неизвестные а и А. с коэффициентами, отражающими влияние этих неизвестных на невязки условных уравнений.

’ Так, если исправленное значение длины хорды найти по фор­

муле

 

Lj ==Lj CTL LLj,

 

то приращения координат между пунктами сети

определяются

из уравнений

 

Ax'. = AXj — aLcos фу cos Ay — АДдгу

 

Ay'. = At/у — oLcos фуsin Ay — KAt/j ..

(2.269)

Аг. = Azj — cLsin фу — AAzy

 

145

Смотрите также файлы