Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 46

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

гонометрической форме и использовав формулу (9), получим:

zn

= rn(cosn<p -f- isiniKp).

(12)

Эта формула называется формулой Муавра.

П р и м е р

 

 

 

1 + і)4 =

TZ

TZ

4(cosir-(-isinii)= —4.

eo s-j-

+ is in —

 

И з в л е ч е н и е к о р н я

Извлечь корень целой

положительной

степени п из числа

„

 

п —

 

z — значит наити

такое число w = у z, п-я степень которого

равна z.

 

 

 

В соответствии с правилом возведения в степень имеем:

I w I

11= I z I и п Arg w — Arg г.

Обозначим

 

 

 

z = r(cos(p + i sin<p), w = p (cos Ѳ -j- 1sin Ѳ ).

Учитывая, что аргумент комплексного числа содержит не­ определенное слагаемое, кратное числу 2я, получим:

рп = г ; пѲ = <р-}-2тск (к = 0, ± 1 , + 2 ...).

16

Так как г и р — положительные числа, то первое из этих ра­ венств дает единственное значение числа р, определяемое вы­ ражением:

причем здесьберут арифметическое, действительное положи­ тельное значение корня.

Из второго значения

Ѳ

Ф 4- 2 як (к = 0 , ± 1 , ± 2 ,...).

Окончательно поручим формулу, при помощи которой извле­ кают корень целой положительной степени из любого ком­ плексного числа:

п/—

nr—,---------— ----:

п/— /

ф + 2 я к

,

у

г

— у г(cos ф + isin ф) =

у

г Icos — — ----

+

 

 

+ isin Ф 4- 2к я

\

 

(13)

здесь

 

к = 0 , + 1 ,

+

2 5 ...

 

 

Формула (13) дает бесконечное множество значений корня, зависящих от числа к. В действительности же имеем только п различных значений, полученных при k=0, 1, 2, ... (п—1). Возьмем два различных значения числа к—кі и к2, отличаю­ щихся друг от друга на п или на число, кратное п. Подстанов­ ка этих чисел в формулу (13) дает один результат. Если кг—кі = п, то

Ф ~|~ 2к2 іс

 

ф +

2 (кі

4- n)ic

<р — 2к 1тс +

2 я

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

cos Ф + 2к2я

=

cos

Ф-f- 2к| я

-j- 2 я

ф

2к 1 я

cos

 

и

 

 

 

 

 

 

 

sin

=

sm / q. +

2k.sc

\

JL+ÜSUL _

п

 

 

(

п

1 )

 

п

Так как корни отличаются только значениями косинуса и си­ нуса, то при к] и к2, отличающихся на число п, получаем од­ но и то же значение корня. Таким образом, при k= 0, 1, 2, ...

2 Заказ 243

17

(n—1) получают различные корни: при k= n — значение кор­ ня то же, что и при к—0. При к = п+1 корни те же, что и при к—1, и т. д.

Посмотрим, как располагаются точки,

соответствующие

различным значениям y f г . Из формулы

(13) видно,

что все

П_

 

 

равный

п различных значений ]/z имеют один и тот же модуль,

у/ г. Определим разность

аргумента двух

соседних значений

l/z , полученных при к и к+1:

 

 

Ф + 2(к -}- 1)тс _ ф + 2к тс ^ 2тс

 

п

п

п

 

Значит, аргументы двух соседних значений корня отличаются

„ 2тс на угол, равный —- — -

Следовательно, все точки, соответствующие различным

значениям У г .являются вершинами правильного п-угольни- ка, вписанного в окружность с центром в начале координат и

радиусом R =y/ |z|. Чтобы построить точки, соответствующие

различным значениям у ъ , поступают следующим образом:

1. Из начала координат как из центра описывают окруж­

ность, имеющую радиус R = y |z|.

Ф

2. Проводят из начала координат луч под углом-^-к дей­

ствительной оси. Пересечение этого луча с окружностью даст первую точку, соответствующую значению корня, полу­ ченному при к=0.

3. Последовательно поворачивая этот луч на угол, равный

2тс

, находят на окружности точки, соответствующие осталь-

п/—

 

ным значениям у ъ

 

Пр и ме р . Найти все различные значения y^ I -\-і и по­

строить точки, им соответствующие.

 

Значения корня вычисляем по формуле

(13):

кі = 0, гх ~ Y 2 /cos ~

+■

'

1

18

 

 

 

i sin -yjj j

=

у /

2 (cos 9° +

i sin 9°);

 

 

k2 = 1 ,

z2 =

10/

2

cos I "oTT 4- ~p- 1 +

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

20

1

5

 

-f- i sin

20

 

2 ir

=

'У 2 (cos 81° -f i sin 81°);

1 Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 А--

 

4tc

 

 

 

k3 == 2,

z3

-

j/

2

c o s|-2ë- +

-

T

I +

■ .

.

I « * .

4u

 

 

 

 

 

4

- 1

sin

— —

4----

 

=

У 2 (cos 153° +

i sin 153°);

^

 

 

1 20

“

5

 

 

 

k4 = 3,

z4 =

j /

2

 

 

6tc

 

 

 

cos I ~2ü +

~5~ 1 +

+

i sin I —---- U

 

 

—

y/~ 2 (cos 225° -J- i sin 225p)

 

 

1 20 ^

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к&= 4,

Zj — 7 T

C0S,-2Ö

 

 

 

+

1" " |- § r

+

£

 

 

 

 

=

У~2 (cos 297° +

i sin 297°).

19

Построение точек, соответствующих найденным значениям

•корня, дано на рис. 5.

ГЛАВА ВТОРАЯ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Понятие функции комплексного переменного и ее геометрическая интерпретация

Определение функции действительного переменного мы давали, опираясь на понятие множества. В основе определе­ ния функции комплексного переменного также остается поня­ тие множества. Условимся считать множество Е комплексных чисел заданным, если указан способ, по которому можно ус­ тановить принадлежность его множеству Е. Например, соот­ ношение Jz J^ R определяет множество комплексных чисел, модуль которых меньше или равен данному положительному числу R.

Так как каждое комплексное число изображается точкой Плоскости, то, задавая множество комплексных чисел, счита­ ем заданным множество соответствующих им точек плоскости. Наоборот, задав некоторое множество Е точек плоскости,

считаем заданным множество комплексных чисел, соответст­ вующих этим точкам. В дальнейшем будем рассматривать множество Е как множество комплексных чисел и как множе­ ство соответствующих им точек плоскости. Вышезаписанное соотношение |z | ^ R определяет множество точек плоскости, лежащих в круге

X2 + у2 = R2,

включая в это множество и точки окружности.

Функцию комплексного переменного определяют так же, как и функцию действительного переменного: говорят, что на множестве Е комплексных чисел z задана комплексная функция w =f(z) комплексного переменного, если каждому числу z, принадлежащему множеству Е, поставлено в соот­ ветствие некоторое комплексное число w.

20

Множество значений аргумента z обозначают через Ez, а множество значений функции w — через EwЕсли каждо­ му комплексному числу z e E z поставлено в соответствие един­ ственное число weEw, то комплексная функция w =f(z) на­ зывается однозначной. Если каждому комплексному числу ze=Ez поставлено в соответствие несколько (более одного) комплексных чисел w = E w, то комплексная функция w = f(z) называется многозначной.

При изучении функций пользуются следующими записями

комплексных чисел z и w:

 

 

w = u+ iv;

 

а) в алгебраической форме z=x-fiy,

 

б) в тригонометрической

 

 

 

 

 

 

z = г (cos ф + i sin ф), w = R (cos Ф +

i sin Ф).

 

Каждое число z = x+iy изображается точкой плоскости z с

прямоугольными

координатами

х

и у,

а

каждое

число

w = u + iv — точкой плоскости w

с

прямоугольными

коорди

натами и и ѵ.

При таких условиях функция

w =f(z) ком­

плексного переменного приобретает

отчетливый

геометриче­

ский смысл. Каждой точке z e E Zl заданной в плоскости z, е по­

мощью функции w =f(z) ставится

в соответствие определен­

ная точка w g Ew плоскости w. В

этом случае говорят, что

каждая точка z e E z плоскости z функции w =f(z) переводит­ ся (отображается) в определенную точку w e E w плоскости w. Например, точка Zi = 2—і плоскости z при помощи функции w~2z переводится (отображается) в точку Wi = 4—2і плоско сти w; точка z2 = —І + І 2 отображается в точку w2= —2+2 і; точка z=0 — в точку w =0 и т. д.

Множество Ez точек плоскости г при помощи функции

w = i(z)

(14)

отображается во множество Ew точек плоскости w. Множе­ ство Ez точек плоскости г называют отображаемым множест­ вом, а множество Ew точек плоскости w — отображающим множеством или говорят, что множество Ew является образом множества Ez, а множество Ez — прообразом множества EwЧтобы было легче запомнить, какоё множество отображае­ мое-, а какое — отображающее, рекомендуют такую аналогию. Возьмем зеркало, которое считаем функцией, законом отобра­ жения. Тогда предмет, стоящий перед зеркалом, есть мно­ жество значений аргумента — отображаемое множество, а изображение предмета в зеркале есть множество значений

21

>

Смотрите также файлы