Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

так как

I

е !? |

=

1

,

1е]> - z0 I

= I

(cos ер -

хп) 4-

i (sin <p - у0)

I = j

jz 0 — e-'f I

I

(x0 -

cos ф) +

i (sin ф — y0)

I

Значит, azo = eiot

, где

a — произвольное действительное чис:

ло.

П р и м е р

3. Отобразить

круг |z—2 1< 1 на

круг |w—2і | <2

так, чтобы

w(2 ) =

1 ,

arg w '(2) =

0 .

\ Р е ш е н и е

1 . W].= z—2 — перенос круга так, чтобы

центр его был в

точке Wi = 0,

z =

2 —» W| —0 ,

vf'

— 1 ,

arg w / (2 ) = 0 .

Стрелка не изменила направление (рис.

47).

•о;

^

©

Wj =

0

w2 (0) = 2

\v0eiot;

w2- = 2 еіа

^

;

(w,w0 -

l)ä

Wj" (0 ) = 2 e‘®(w0w0 — 1 );

1

>

w0 w0 >

0 ,

так как jw0| < l

(см. пример 2), поэтому w0w0— К О . Тогда

argw /(0)

= arg2eio(w0 w0 — Л) = а +

те .

3. w — w2 -j- 2i ,

w' = 1 ,

argw' (2 w0 e'*) =

arg 1

=

0 ,

w (2 w0e'*) =

2 w0e’“ +

2i == i ,

i = — 2 w0e‘“ .

По условию

нормировки

имеем

а + л = 0

или

а = —тг.

Тогда

і =

—2 w0e- '' ,

i =

2 w0 .

Итак,

w = w2 -f- 21 == 2 e

+ 2 i

( - 2 z _+ 4 + 1)2 .

— 2z +

4 -

2i _ 0

z +

1 - 2

- i z - f - 2 1 - 2

^

—zi -j- 2 i — 2

' z i

+

2 — 2i ’

w - 2

z +

i -

2

zi

+ 2 -

2 i '

4.

Степенная функция w = zn (

n = 2, 3, .„)

Будем считать, что г ■—oo->-w= оо, z = 0->\v = 0.

Найдем ус-

Пусть z, Ф z-i ,

тогда w(zi) — w(z2) ,

если

z,n = z2n ,

z\ — г0 е'я0, z2 =

р0еФо ,

„ ,

Л

„ . 2 лк

ад)П = ß0n +

2ігк ,

ао = Po Н-----— •

~ ~ ^ arg z <

(к -f- 1 ),

к = 0,1 ,2,. .. , (п — 1 )

язляются областями однолистности (рис. 48),

w1 =

nz"“ 1 0

при г Ф 0 .

Отсюда имеем, что окружности

| z | = r плоскости z пере­

ходят в окружіности | w | = r n= p

плоскости w, лучи же

_ Каждый сектор 0 <; arg г <

!2\п

,

-р -

2тс

< arg z <

4тс

п

2 it

п — 1 ) ^

arg z < 2 тс

п

сразим сектор

2 ^

4it

,

причем лучу arg г

2 гс

— ^ arg z

= р р

соответствует

луч склеивания и т. д.

Всего склеивают п таких

<2u отобразим на последний экземпляр. Лучу arg z =

х

X(n —I) будет соответствовать склеенный нижний

берег

первого. Отображение w = zn плоскости г

на

такую поверх­

ность будет однолистным (взаимно-однозначным).

Пр и м е р . Найти

отображение сектора

0 <

7Г

argz < — на

единичный круг [ w | <

1 .

7С

Р е ше н и е . Отобразим сектор

0 < arg г

на верх­

< —-

нюю полуокружность.

Таким

отображением

будет wi = z2.

. дѵ, — 0

(3 =

а +

bi, b >

0).

w = ew--------=

w, -

ß

Итак,

w =

.

za -

ß

(рис. 49).

e'“ --------—

z2 — ß

o,

У/

©

'V—

. ср+2”к

w

и /—

П / -

у z = у г е

= / г е

где

к= О, I,

(п—1 ).

Это

п-значная

функция.

Для каждого к получаем одну из

„

.

а

2ък

і

---

j----

wk —V г

е

n e

n .

П/ —

п

. 2лк

п

іф

2тс(к+1)

е

П

— п

п

Wk-и = у г е

= ух е

е

либо к ветви

i JL

і

wk-

1 =;

УI V г-

е

n

е'

л

ном направлении мы еозвращаемся к исходной ветви:

2г.п

.2ік

IV—

: f

:2к

1

"

п

е

п,

е

.

— у г е

ср

.2як

П/—

п

п

=wk .

■ /г

е

е

ветви многозначной функции к другой

ее

ветви,

называется

. *

П

г ТОчек

разветвле­

точкой разветвления. Для функции w=

у

ния две:

z = 0, z = oo. В этих

точках функция принимает толь­

ко одно

значение 0 или оо

для

любой ветви, причем все эк­

земпляры плоскостей Римановой

поверхности как бы склеены