Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

X dxdx -ь ... = у0(л') -I- ф(л-)

Объединяя члены с одинаковыми неизвестными коэффициен­ тами, получим:

 

 

 

 

 

XX

XX

 

 

 

 

 

С I e - m | * - E l d t +

I \

EJ(x)

[ { d x d X

 

 

 

 

О

 

и и

Оо

 

 

 

 

 

 

 

 

х

х

XX

 

 

 

-Mi

с j’ 9(S)e-™ I

I d\ +

I’ I"

j* j*

<t(x)dxdx

 

 

 

 

 

 

UU

 

 

 

 

+ «2

{c

[ l ?

( S )d ]\

2e+

X

X

E1

 

 

-I-

-

m1Xj’- *J

|? ( Л - ) ]2^ Л - }

 

o

 

 

 

d o

 

о и

 

 

 

 

 

 

+ ... -

yu(.v) -f Ф(л-)

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aofo(X) + al/l (x) -\-а2?2 (х)

 

—Уо(х)-\-Ф(х).

(III.

12)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdx

/„(*, = < j V - i . -<|Л + Л ^ dxdx ;

EJ(x)

О

0 0

/ . ( л : ) =

с | ? ( 5 ) е

т ' *

- е 1 ^

Ь

f

о

о U

0 0

 

 

 

 

1

XX

 

XX

 

 

f,(x) = c j‘ [<p(5)Jae - mIx6lflf£ _(_ |‘j

j

j

[<?(x)]*dxdx .

 

 

о о

о

о

 

 

Как видно из (III. 13), вычисление функций f\ (х) для каж­ дого случая расчета не представляет никакого принципиаль­

ного затруднения, т. к. функции <f(x) и Е1(х) — заранее из­ вестные интегрируемые функции.

Из равенства (III. 12) мы можем придти к бесконечной алгебраической системе двумя несущественно отличающими­ ся способами.

Разбивая всю длину полосы на бесконечно малые части, определяемые значениями х к, и в каждой точке вычисляя значения функций

102

/ (-*к) = /.к

(i, к = 0 ,

1, 2,...)

Уо(л'к) + Ф(Л'к) = Уок + Фк

(к = 0,

1, 2,...),

мы получаем бесконечную систему алгебраических линейных уравнений, в которых неизвестными величинами являются искомые коэффициенты аэ, аь а2 и т. д.

Я0/ок “Ь Я |/ к ~Ь Я2/гк + ••• = Уок + Фк

(K — Q> 1> 2,...)

Или в развернутом виде:

Яо/оо +

fli/io

+

я , / , о +

Уоо +

ф о;

 

я 0/о! +

Я |/п

+

0 2 /2 1 +

•••= Уо. +

Ф,;

(П1. 14)

aufo2 ~Ь Я,/,о + Я2/ 21 -f- ...= у02 + Ф2.

Практически можно вместо бесконечного ряда (III. 11) при­ нять для функции р(х) выражение в виде полинома из п чле­ нов:

р(х) = Vfl, [ip(.x)]1

(III. 15)

дга

 

1=0

 

Тогда для решения задачи и определения п неизвестных ко­ эффициентов fli , кроме двух уравнений равновесия (III.7) и (III. 8), следует, придавая величине х ряд фиксированных зна­ чений хи х2,..., хп- 2, составить (п—2 ) уравнений типа:

Яо/оо +

я / ю +

... +

Я п-2/п —2> О=

Уоо +

Фо

;

 

&of01 +

Я]/и +

... +

Я п-2/n -2, 1=

У01 +

Ф1;

(III. 16)

Яо/о,п-2 +

Я ,/,п - 2

+ ••• + Я п -г/п —2,п-2 — Уо>п

2 +

2 .

Решая полученную систему (III. 16) из (п—2) уравнений, находим неизвестные коэффициенты Я1 :

 

А.

Я1 = — ,

где

А

 

/оо/ю ... / - 1 , 0 (Уоо +

Фо)/н-., О... / п - 1 , о

/ 01/11 ••• /-1 , 1(Ую +

Ф1)/м-1. 1••• /п-1, 1

А,

 

/о, 11- 2/ 1, п-2 . .. / |-1, п—2(У0, п-2+ Фп-г)/н-1, П-2. ../п-2. п-2

103

д =.

!, n 2

Подставляя найденные значения коэффициентов в (III. 15), получаем искомое решение задачи. Такой способ решения за­ дачи, следуя В. А. Флорину [89, 90], называем способом «при­ равнивания прогибов».

В правую часть

интегрального уравнения

(111.

9)

входят

четыре начальных

параметра

задачи.

Из них

два

всегда по

условию задачи заранее известны, а два оставшихся

входят

в состав систем

(111. 14)

и (III.

16).

Поэтому

система

(III. 16) будет содержать п уравнений с

(п-|-2) неизвестны­

ми, из коих п — неизвестные коэффициенты ряда

(111. 15), а

два — неизвестные начальные параметры задачи.

 

 

Поэтому в каждом случае расчета неизвестные коэффи­ циенты а| будут зависеть только от двух начальных пара­ метров. Следовательно, к системе (III. 16) мы должны присое­ динить еще два уравнения равновесия (III. 7) и (III. 8). Не­ известные начальные параметры всегда представляется воз­ можным определить из двух уравнений равновесия статики.

Решение рассматриваемой задачи возможно также осуще­ ствить по несколько иному варианту [76, 89]. Разлагая в ин­ тегральном уравнении неизвестную функцию р(х) в степенные ряды п сравнивая в полученном при этом уравнении коэффи­ циенты с одинаковыми степенями cpf.v), можно получить бес­ конечную систему уравнений относительно неизвестных коэф­ фициентов .

Присоединяя к этой системе уравнение равновесия и огра­ ничиваясь решением некоторой усеченной системы уравнений, можно определить все неизвестные коэффициенты а\ , следо­ вательно, и закон распределения реактивного давления р(х).

§ 4. Выражение грузового члена канонических уравнений для каждого вида внешней нагрузки

Канонические уравнения излагаемого метода расчета (III. 16) содержат в себе грузовые члены вида:

XX

X

X

Рр

dxdx

(III.17)

 

Iо

 

и

104

Вид функции Ф (х), значения которой в фиксированных точ­ ках хк ( к = 0 , 1, 2,...) входят в правую часть канонических уравнений для определения неизвестных коэффициентов, за­ висит от характера действующей на полосу внешней нагрузки. Поэтому для определения неизвестных коэффициентов необ­ ходимо иметь выражение функции (III. 17) для каждого слу­ чая действующей на полосу нагрузки.

Рассмотрим наиболее часто встречаемые в практике ра­ счетов случаи нагрузки. Для простоты цилиндрическую жест­ кость полосы примем постоянной.

1.

Нагрузка постоянная по всей длине полосы q(x) = q

(рис.

III. 2).

 

 

р т п т т

ЕШГШП

 

 

Рис.

II 1.2

 

Тогда согласно (III. 17), имеем:

 

 

Ф(Х) = Ж ^ ~ Щ .-.» )

 

 

 

EJ0 4!

EJ0

 

2.

Нагрузка

постоянная

на протяжении

от х — а до х = Ь ,

в остальных местах равна нулю (рис. III. 3).

С помощью

 

зякяs-та

й

 

—■=- £

И

Рис. II 1.3

двухстороннего прерывателя Н. М. Герсеванова указанную прерывную нагрузку можно представить в виде [60]:

105

< 7 (х ) — Г о

Тогда выражение грузового члена примет вид:

 

,t

•» rt ,t

 

 

 

 

Ф(-'г) =

Га cjodxdxdxdx =

 

E J n

 

 

 

 

 

 

X

X

X

X

1

 

»

.'t

ft

ft

Га q0dxdxdxdx-

 

 

Гь q^dxdxdxdx

 

 

 

EJ0

С помощью формулы многократного интегрирования односто­ ронних прерывателей (ф-ла II. 28]) выражение функции Ф(Х) примет вид:

Ф(л-) = — |Г > 0(л' - аУ - Гь ди(х — ЬУ\ 24EJо

В силу свойства одностороннего прерывателя имеем [80]:

при х < а ; Ф(х) = 0;

 

п рп а < х < Ь, Ф (х) = _1_

ЬУ\

24ГУ0

 

при Ь < х < 1, ф (х) = —

х — а)А— (х — Ь)%

2-1 Г/о

 

3.Нагрузка состоит из двух местных равномерно расп

деленных неравных нагрузок q\ и q2 (рис. III. 4). В этом

И

Рис. III.4

случае функция нагрузки с помощью двухсторонних прерыва­ телей представится в виде:

106

? (а ) = Га)?, + Га.^2

Выражение грузового члена примет вид:

х х х х

1

х х х х

Ф(Л-) = J — 111 1 v ^q\dxdxdxdx+b

Ya^qodxdxdxdx

EJо J ,1 ,1 J

EJо

t

о о о о

 

о о о о

Раскрывая последние четырехкратные интегралы над двухсто­ ронними прерывателями, для функции Ф (х) получим следую­ щее выражение:

Ф(Л') =

—

|[Га,<71( х : - а 1)4- Г ь 1?,(л --& 1)4] +

 

 

V A E J q

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1га,?2(л- — а2У — Тъ.Дг{х ~

^ ) !]1 •

 

Учитывая

свойства

одностороннего прерывателя, будем

иметь:

 

 

 

 

 

 

 

 

при А'-Сйь Ф(х)=>0‘,

 

 

 

 

 

при Ьо<.х<1, ф ( х ) =

—

(х — а,) ;

 

 

 

 

 

 

24EJ0

 

 

 

при й2<

а'< 6 2, Ф ( х ) =

- - 1 - - [(х — й()4— (х — 6,)41;

 

 

 

 

2 АЕ]$

 

 

 

при 6[ < а< й2» Ф (Х )= —-д-

{[(а- -

а ,)4— (х — М 4] 9, +

 

 

 

 

24EJ0

"Ь (Хо

^2)4^2}

!

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

— a i)4 — (A —

6i)4] -r

при й , < А < 6 ь ф ( Х ) = — -нТ

 

 

 

 

24£/0

 

 

 

 

 

 

 

+ q-2 [(А — а2у — (X - ь у у }.

4.

Нагрузка

состоит

из нескольких

сосредоточенных сил

Nь N2,..., Л/,

(рис. III. 5).

 

мгновенного

прерывателя

Функция

нагрузки

с помощью

первого порядка представится в виде:

 

 

9 ( x ) = V r i ,M

1=1

Выражение грузового члена с помощью мгновенного прерыва­

теля первого порядка примет вид:

ХХХХ п

Ф(а) — V r ;aj N\^vi dxdxdxdx E h Jо о о о 11

107

Смотрите также файлы