Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

НЕЛИНЕЙНЫЕ

СИСТЕМЫ

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ТИПА

/

ч

,<н}: ;

I

•? л

3&&

■ - ■ -і

-15 ■ I

Ь

<Г-. -і

- 'i

НЕЛИНЕЙНЫЕ

СИСТЕМЫ ’ИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

М О С К В А 197 4

УДК 55.511.32

Нелинейные системы гидродинамического типа. Должан-

ский Ф. В., Кляцкин В. U., Обухов А. М., Чусов М. А. М .,

«Наука», 1974.

Вмонографии излагается теория систем гидродинамиче­ ского типа с применением ее к расчету простейших явлении, важных для геофизики: конвективных процессов, каскадного

летворять модели, претендующие на описание реальных гидро­ динамических процессов. Уравнения движения таких моделей, названных системами гидродинамического типа, обладают важнейшими свойствами исходной системы уравнений гидро­ динамики. Результаты могут быть применены к теории моде­

динамики, а также на аспирантов и студентов старших кур­ сов, обладающих достаточной математической подготовкой.

П РЕДИ СЛОВИ Е РЕДАКТОРА

При теоретическом изучении таких крупных естественных объек­ тов, как атмосфера Земли в целом или Мировой океан, в настоящее время широко используются гидродинамические модели. Это поз­ воляет объяснить и предсказать многие геофизические процессы на основе решения уравиений гидромеханики. Решение послед­ них, когда они применяются к решению геофизических задач, развивается по двум взаимно дополняющим друг друга направле­ ниям.

Первое направление основано на линеаризации исходных урав­ нений относительно некоторого известного стационарного решения. Напомним, что это направление ведет свое начало по крайней мере с динамической теории приливов, созданной Лапласом в 1774— 1776 гг. (Лаплас (1799); см. также Дарвин (1898)). Работа Гельм­ гольца (1886), также выполненная в русле этого направления и посвященная динамике перемещения атмосферных масс, стала клас­ сической для теоретической динамики атмосферы.

Линеаризация с успехом применяется для изучения распростра­ нения волн в атмосфере и океане (внутренние волны, волны Рос- сби—Блиновой, акустические и гравитационные волны). Развитие линейной теории позволило за последние 20—30 лет дать общую классификацию динамических процессов в атмосфере и выяснить механизм «адаптации» барического поля. Наиболее полный и со­ временный обзор этих результатов содержится в монографии Ди­ кого (1969).

Однако для решения важнейших практических задач, например, численного прогноза погоды, исследования основных механизмов преобразования энергии в атмосфере, построения теории океа­ нической циркуляции, линейная теория оказалась совершенно недостаточной. Это явилось причиной разработки второго направ­ ления, основная особенность которого — построение упрощенных моделей, описываемых ограниченным числом параметров, т. е. использование в качестве модели системы с ограниченным коли­ чеством степеней свободы. Уравнения движения этих систем ока­ зываются уже существенно нелинейными. Решаются они обычно численно с использованием ЭВМ; иногда их удается исследовать качественно методами нелинейной механики. Это направление

3

необходимо для изучения геофизических объектов (атмосфера, Мировой океан) в целом, и поэтому оно бурно развивается сейчас как в СССР, так и за рубежом.

В связи с этим возникают общие вопросы: что это за упрощен­ ные модели; как их строить и каким общим требованиям они должны удовлетворять; какие важные свойства изучаемого объекта должны быть обязательно сохранены в «хорошей» модели; как их конкретно сформулировать. Авторы настоящей монографии и по­ пытались четко сформулировать указанные вопросы и по воз­ можности дать па них ответ.

Заметим, что значение рассматриваемых в монографии проблем выходит за рамки изучения только геофизических объектов; они важны и в физике всякий раз, когда исследователь сталкивается

'с необходимостью учета нелинейных эффектов, например, в физике плазмы (Кадомцев и Карпман (1971)), для решения задач которой уже созданы методы исследования нелинейных процессов в непре­ рывных средах.

Рассмотрение широкого класса нелинейных моделей, эффек­ тивно используемых в динамической метеорологии, в частности

вчисленном прогнозе погоды и теории общей циркуляции атмо­ сферы, показывает, что, как правило, соответствующие задачи решаются с учетом нелинейности «во втором порядке», т. е. в боль­ шинстве важнейших геофизических приложений применение квад­ ратично-нелинейных уравнений оказывается уже достаточным.

Очень существенно при изучении крупных геофизических объек­ тов использование интегралов движения, например энергии, мо­ мента количества движения, потенциального вихря. Очевидно, что

в«хороших» моделях должны существовать аналоги соответствую­ щих интегралов движения, в противном случае общий физический анализ результатов становится затруднительным или практически невозможным.

При анализе и «конструировании» гидродинамических моделей представляется весьма полезным общее понятие «система гидро­ динамического типа», введенное одним из авторов монографии (Обухов, 1969). Так называется система, у которой общие свойства уравнений с точки зрения характера нелинейности и законов сохранения такие же, как и у изучаемого гидродинамического объекта, но которая имеет конечное число степеней свободы.

Более точное определение и описание свойств систем гидро­ динамического типа дается в главе II после краткого изложения в предшествующей главе основных методов аппроксимации урав­ нений гидродинамики.

В книге рассматриваются конкретные интерпретации простей­ ших систем гидродинамического типа. При этом удается исследо­ вать вопросы, важные для изучения любой нелинейной модели, например, существование стационарных решений, их устойчивость, обмен энергией между основными степенями свободы (модами).

4

ВВЕДЕНИЕ

Одна из основных трудностей получения конкретных выводов (не только количественного, но и качественного характера) о дви­ жении жидкости вызвана бесконечностью числа степеней свободы гидродинамических объектов, которая сочетается с нелинейностью уравнений гидродинамики. Одним из возможных путей ее преодо­ ления является замена объекта с бесконечным числом степеней свободы системой с конечным числом степеней свободы, по описы­ ваемой нелинейными уравнениями, аналогичными уравнениям гидродинамики. При реализации этой возможности сразу возни­ кает вопрос: а какое минимальное число степеней свободы должно быть у этой системы для того, чтобы опа отражала наиболее су­ щественные черты процесса? Дать общий ответ на этот вопрос весьма трудно, так как очень большое значение имеет конкретная постановка задачи.

Вопросы математического обоснования такой редукции в на­ стоящее время еще мало разработаны и связаны с решением очень трудных проблем, которым посвящена, например, монография Ладыженской (1970).

В связи с этим естественно обратиться к неоднократно опи­ санным в литературе гидродинамическим экспериментам, указы­ вающим на эффективность использования правильно выбранной нелинейной модели с малым числом параметров. При интерпрета­ ции этих экспериментов основную роль играет теория подобия, позволяющая выделить важнейшие безразмерные параметры (кри­ терии подобия), от которых зависит характер изучаемого процесса. В таких экспериментах некоторые «фазовые характеристики» исследуемого движения могут зависеть от всегда задаваемого с не­ которой неопределенностью начального состояния, и в этом смысле можно говорить о 'многозначности решений данной гидродинами­ ческой задачи. Она может проявляться как неопределенность установления в системе того или иного режима движения, опре­ деляемого в основном внешними параметрами. После этого началь­ ные возмущения несущественны и, как правило, «забываются» системой в процессе ее эволюции. Зачастую некоторое весьма простое частное решение фактически вообще не реализуется, так как оказывается неустойчивым.

6