Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf

ния соседних, ненагруженных точек, но эти перемещения ста­ новятся тем больше, чем дальше находится рассматриваемая точка поверхности грунта.

Итак, принимая за основу расчета метод убывающей функ ции, согласно (III. I) и (III. 2) для осадки основания балки получим следующее выражение:

I

S(x) — с J р(у\)е_т 1к~г>1d-q \)

Несмотря на простоту и физическую обоснованность, метод убывающих функции не нашел до сих пор применения в тео­ рии расчета конструкций на упругом основании. Сам же автор этого метода решил до конца только два предельных случая: для абсолютно гибкой балки, подверженной по всей длине действию равномерно распределенной нагрузки, п для абсо­ лютно жесткой балки.

Ниже излагаются основы разработанной теории расчета балок на упругом основании по методу убывающих функций.

§ 2. Сведение задачи к интегральному уравнению

Расчет, как в обычно применяемых теориях, сводится к оп­ ределению закона распределения реактивного давления грун­ та по подошве изгибаемой балки. Будем рассматривать по­ лосу шириной Ь, работающей под действием сосредоточенных

В основу рассматриваемой теории расчета кладутся два основных уравнения. Первое из них — дифференциальное уравнение изгиба полосы, имеющее вид:

Второе представляет собой уравнение осадки поверхности грунта при передаваемой полосой нагрузке, равной по абсо­ лютной величине реактивному давлению грунта на полосу:

I

S(x) = с J p(-q)e~mI x-7i1d-q (III.5)

о

Рассматриваемая контактная задача сводится к определению закона распределения реактивного давления р(х), удовлетво­ ряющего следующим двум основным условиям:

98

1. Прогибы полосы всюду по ее подошве должны совпа­ дать с осадкой поверхности грунта под полосой, т. е.

2. Реактивные давления и внешняя нагрузка на полосу должны вместе удовлетворять следующим двум условиям рав­ новесия статики:

где Rn и Л/о обозначают сумму вертикальньЛс сил и сумму мо­ ментов всех внешних нагрузок относительно левого начально­ го сечения балки.

Решение уравнения (III. 4), выраженное через начальные параметры задачи, представляет собой функцию:

где

Е =

b( 1 — ро)

Из условия непрерывного прилипания подошвы полосы к поверхности грунта, т. е. (III. 6), имеем:

99

Полученное выражение (III. 9) представляет собой инте­ гральное уравнение первого рода относительно искомой функ­ ции р(х). Если рассматриваемая конструкция представляет собой балку постоянной жесткости EJ0, то интегральное урав­ нение задачи примет вид:

XXXX

XXX X

0 0 0 0

Таким образом, задача сводится к решению интегрального уравнения (III. 9) или (III. 10), удовлетворяющему двум урав­ нениям равновесия статики (III. 7) и (III. 8).

Если к полосе (или балке) приложена симметричная отно­ сительно её середины внешняя нагрузка, то распределение реактивного давления также должно быть симметричным и поэтому первое уравнение равновесия (III. 7) должно превра­ щаться в тождество.

Если же внешняя нагрузка обратно симметрична, т. е. справа и слева от середины балки одинакова по величине, но обратна по знаку, то она, очевидно, приведется к паре сил М0. В этом случае распределение реактивного давления грунта получится также обратно симметричным и поэтому второе уравнение равновесия (III. 8) должно превращаться в тожде­ ство.

Таким образом, искомая функция р(х), помимо интеграль­ ного уравнения задачи, должна удовлетворять одному или же обоим уравнениям равновесия статики.

§3. Решение интегрального уравнения задачи

встепенных рядах

100