Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf

Полученное выражение представляет собой дифференциаль­ ное уравнение продольно-поперечного изгиба балки на сплош­ ном упругом основании, подчиняющимся модели местпых упругих деформаций. В частном случае, когда балка под­ вержена только деформации поперечного изгиба, уравнение (II. 5) принимает вид:

Полученные уравнения продольно-поперечного и попереч­ ного изгиба балки относятся к обыкновенным однородным ли­ нейным дифференциальным уравнениям с переменными коэф­ фициентами EJ (х ) и к (х), которые в общем случае могут быть как непрерывными, так и ступенчато-прерывными функ­ циями, в зависимости от характера изменения жесткости бал­ ки по её длине, а также коэффициента упругой сопротивляе­ мости грунта оснований.

Интегрирование уравнений (II. 5) и (II.6) в квадратурах невозможно, так как их общие решения не получаются выра­ женными через элементарные функции. Поэтому для решения указанных уравнений возможно применить только различные приближенные методы.

Одним из наиболее часто применяемых методов интегриро­ вания дифференциальных уравнений подобного типа является метод разложения искомого решения в бесконечные ряды. В

случая постоянной по длине опоры жесткости и изменения с глубиной по непрерывному закону коэффициента упругой со­ противляемости грунта. В этом методе искомая функция пред­ ставляется в виде бесконечного ряда по строке Маклорена или Тейлора. При этом нулевые значения искомых функции и их производные определяются на основании рекуррентных со­ отношений с использованием начальных условий рассматри­ ваемых задач.

Кроме указанного метода, для интегрирования уравнений (II. 5) и (II. 6) могут быть использованы вариационные мето­ ды, к числу которых следует, прежде всего, отнести методы Лагранжа-Ритца и Бубнова-Галеркина [58]. Для решения по­ лученных уравнений могут быть применены также численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, среди которых следует отметить метод Адамса-Штермера, который был широко развит и применен А. Н. Крыловым для построе­ ния общего решения ряда инженерных задач [59, 60, 61].

3G

Весьма оригинальный метод для построения общего реше­ ния уравнении (II. 5) и (II. 6) разработан И. А. Симвулидн [31, 62, 63]. Для получения более простого и удобного реше­ ния общих формул в этом методе поставлено условие, чтобы упругая линия изогнутой оси конструкции и просевшая под ней поверхность грунта приблизительно совпадали. Поэтому реактивное давление грунта представляется автором четырех­ членным степенным рядом с четырьмя неизвестными параме­ трами, значения которых определяются из условий контактно­ сти конструкций с основанием. Кроме этих условий, исполь­ зуются также два условия равновесия и два граничных усло­ вия.

В отличие от вышеупомянутых методов для приближен­ ного интегрирования уравнений некоторых краевых стати­ ческих и динамических задач строительной механики, опи­ сываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, нами в рабо­ те [64] разработан эффективный метод, который в дальней­ шем был развит в работе наших аспирантов [65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75].

Ниже излагается сущность указанного метода расчета.

§ 3. Метод последовательного приближения для построения общего решения дифференциальных уравнений продольно-поперечного и поперечного изгиба балки на сплошном упругом основании

Исходя из метода, изложенного в работе [64], займемся решением уравнения продольно-поперечного изгиба балки. Решение же поперечного изгиба балки получим как частный случай из построенного решения задачи о продольно-попереч­ ном изгибе.

Примем следующие известные краевые условия:

Произведя интегрирование этого уравнения в пределах от 0 до х, получим в общем виде выражение для перерезываю­ щей силы:

37

X

Для определения изгибающего момента последнее уравне­ ние еще раз интегрируем в тех же пределах:

X XX

EJ(х ) — ^ 1*- = —М(х) -— J Q (х) dx = J J q (х) dxdx —

ооо

XX

к (х) у (х) dxdx — Р | у (х) — г/0]—QqX—М0

Разделив обе части последнего выражения на EJ (х), бу­ дем иметь:

Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0 до х, получим выражение для угла поворота сечения балки в виде:

38

Упругая линия балки при этом определится выражением:

Уравнение деформированной оси сваи представим в виде:

У (х) = 1/0 (х)

0о, М0 и Qo, характеризующих краевые условия рассматривае­ мых задач. Два из этих четырех параметров всегда равны нулю. Так, например, для балок со свободным левым концом

деляются из условия на правом конечном сечении балки.

39