Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
Решение интегрального уравнения (II. 7) построим мето дом последовательного приближения. Для построения после довательного приближения, как это сделано в работе [64], в качестве аппроксимирующей функции для продольно-попереч ного изгиба, т. е. нулевого приближения примем краевую функцию уо (х). Эта функция обладает теми же свойствами, что и краевая функция в работе [64], но в отличие от нее со держит дополнительный член, учитывающий влияние продоль ной силы.
Подставляя в правой части уравнения (II. 7) |
вместо у |
(х) |
|||||||
функцию уо (х), получим первое приближение в виде: |
|
||||||||
|
|
XX |
|
XX |
|
|
|
||
У\ (х) = уо (х) — | |
j |
|
|
к(х)у0(х) dxdx— |
|
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
_ |
р |
XX _ |
|
dxdx |
|
|
|
||
Г Г Уо(х) |
|
|
|
||||||
|
|
|
J J |
EJ(x) |
|
|
|
||
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
Заменив в правой части последнего выражения у0 (х) |
на |
||||||||
У\(х), получим второе приближение: |
|
|
|
|
|||||
Уг(х) = у0(х) - |
j |
| |
|
J | |
х(х)у1(*) dxdx— |
|
|||
|
0 |
0 |
X |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdx |
|
|
|
||
|
|
|
Г* У\ { х) |
|
|
|
|||
|
|
|
J |
El (х) |
' |
|
|
||
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
Заменяя же У\(х) |
на У2 (х), |
получим третье |
приближение |
||||||
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уз (х) =~Уо (х) — ^ | |
| |
j |
dxdx~ |
|
|||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
_ |
|
p |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
Г Г у■>(х) dxdx |
|
|
|
|||||
|
|
|
J J |
El (x) |
' |
|
|
||
Продолжая таким |
|
|
о о |
процесс |
построения функций |
||||
|
образом |
||||||||
уп (х) |
в результате получим их бесконечную последователь |
|||
ность: |
|
|
|
|
Уо (х) |
— уо (х) |
= уо + 0о х |
dxdx |
л" dxdx |
— М |
El (х) |
|||
|
|
|
EJ(x) |
|
|
|
|
о о |
о о |
40
|
|
|
и и. |
|
|
У\(х)=Уо(х)— | | е 7 ( х У j j K W y ° M d x d x |
|||||
|
Ои |
XX |
и и |
|
|
|
|
|
|
||
|
р |
ft |
у0 (х)dxdx |
|
|
|
|
EJ (х) |
|
||
|
|
о и |
|
||
|
|
|
|
|
|
у2( х ) = у 0(х)— |
| | |
|
| |
| к (x)y i(x)dxdx — |
|
|
0 0 |
XX |
и |
о |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
р |
Г Г У\(X) dxdx |
|
||
|
|
J J |
EJ(x) |
’ |
|
|
|
о и |
|
|
|
Уз(х) = у 0(х)— |
[ [ |
|
1 1 * (*) Уа (х) dxdx — |
||
|
Оо |
|
|
|
|
|
р |
С С У2 (х) dxdx |
_ |
||
|
|
J J |
EJ(x) |
’ |
|
|
|
и О |
|
|
|
Уп {х) = У о { х ) — | | £ jXd^ |
| |
| к (х) У п-1 (X) dxdx — |
0 0 |
и |
о |
X |
|
(х) dxdx |
Гуп-1 |
||
J |
ЁНХ) |
|
UU |
|
|
Быстрота сходимости построенного решения в каждом конкретном случае, очевидно, будет зависеть от вида краевой
функции уо (х) и может быть оценена в зависимости от харак тера функций EJ (х) и к (х) известными способами. _
Вынося в n-ом приближении параметры у0, 0о, М0= М 0—
—Руо, Q0 за скобки, приближенное решение рассматривае мой задачи можно представить в развернутом виде:
41
)'n (X) = yo A (x) + 00 B(x) — Mo C(x) — Q0D(x) -f Ф(х) (US)
Здесь функции A(x), В (x), C(x), D(x) и Ф (x) определяются р.ыражениями:
A(x) = F?'M(Л-) + |
ФГ (x) + |
M' P (x) |
|
B(x) = / ? • M(x) + |
Ф2 (x) + |
'bQ-M’ p (x) |
|
C(x) = P3Q' M(x) + |
Ф3Р (x) + |
M’ p (x) |
(II.9) |
D(x) - /=■?'M(x) + |
Ф4Р (x) + |
# M' p (x) |
|
oo |
|
|
|
Ф(х) = Пср(х)^(х)+ V |
(— 1)" |Паг(х)х(х)]п- 1X |
|
|
X П©(х)х(х) Т[щ(х)д(х) .
Функции Fp’M(x), ФР (х) , фР,м-р (х) , отражающие со ответственно в отдельности влияние поперечного изгиба, про дольной силы и совместного влияния как поперечных, так и продольной силы определяются следующими выражениями'
со |
| |
/=?•м (х) = 1 -}- V ( - |
1)п Пп ср (Х)к (х) ; |
П—1 |
|
F?' м (х) = х -f V (— 1)п Г1П—1о (х)/с(х)П©(х)хк(х) ; |
|
П—I |
( 11. 10) |
оо |
|
F?' м (х) = П и? (л-) + V ( _ 1)п ЦП ? (л-)к(А.) 1[0? (А.} ;
п-1
Р? 'м (х) = Н0х©(х) + V ( _ 1)п l[n ср(л-)/с(л') 11„хср(х)
|
|
П"1 |
I |
Ф‘/(А-) = V |
( - |
1 |
|
D" Р" ns«p(jc) ; |
|||
ОО |
П-1 |
|
|
|
|
|
|
Фр2 (х) = V ( - |
1)« рп n s 1?(a) 110х<р(х) ; |
||
п- 1 |
00 |
|
} (П.П) |
фР(х) = V ( - 1)п рп цп-н Х) . |
|||
11— 1 |
|
|
|
ОО |
|
|
|
ФР (х) = У ( - |
1)" Р" Пп0ср(л-) П0х ©(х) . |
||
n=i |
|
|
|
42
«!»?■Ml р (je) = V ( - 1)"+iP"£n ;
ПК1
6«-м' р ( л - ) - У ( - 1 )П+1Я" Сп ;
n= 1
DC
Ф?-М-Р(Л) = V ( _ l)n+ipn Dn ; n=l
Коэффициенты Лп , Bn , С„ , А ниях определяются выражениями:
со
Л, = V (— 1)Пт1аА,п ; |
в х = У |
( - |
|
жял! |
|
в последних
1)n+I а в, п ;
П ■= 1 |
11=1 |
00 |
00 |
|
5, = |
У ( - 1)“+» лв. л ; |
п = 1 |
*■ |
*шзк |
П= 1 |
||
со |
|
00 |
|
|
|
Л 3 = 2 ( - - 1 ) п + 1 С а , п ; |
5 3= 2 (_1)п+1св'п; |
|
П ст 1 |
|
п=1 |
С .= |
V ( _ l )n+1 ас, „ ; |
Д=Уjad(-1)п+1аап; |
|
|
П= 1 |
П" 1 |
|
|
00 |
|
00 |
Сг = ^ |
( - \ ) п+1Ьс, |
A = y ( - D n l,V n ; |
|
|
|
|
а |
|
П = |
1 |
П=1 |
|
ОС |
|
00 |
Сз = |
V ( - 1 ) n +l Cc, n ; |
А = 2 ( - 1)п+1£о,п. |
|
|
п*=1 |
п—I |
|
| (П.12)
)
разложе-
1
(11.13)
В полученные выражения функций F?' м(х), ФГ(х), ф?'м,Р(л') входят линейные интегральные операторы следующего вида:
П0ф (х) = J J ф (х) dxdx; По/с (я) = |
J J к (х) dxdx; |
о и |
ои |
XX |
XX |
Пф(л:)/с(л:) = П 0ф(х:)Пок(х) = j j® (х) dxdx j 1к (х) dxdx;
Г1П cp'(.v)/c(x) = |
П 0ф ( х ) П о / с ( |
х ) ... П 0ср( х) П 0 к ( х ) = |
= |
П с р ( х ) / с ( х ) ... |
П ф ( х ) / с ( х ) , |
где П0 п И представляют собой интегральные операторы над функциями ф (х) = 1/EJ (х) п к (х) = к (х)-Ь (х). Свой ства этих операторов подробно описываются в работе [64].
Вычисление показывает, что на результат расчета оказы вают влияние лишь первые 2—3 члена суммы (II. 13), выра жения для которых приводятся в работе [39].
На основе полученного общего решения проверим выпол нение граничных условий рассматриваемой задачи. Для это го очевидно необходимо определить значения функций f/n(-x) н ее производных при х = 0. Согласно (II. 8) имеем:
Уп (о) — УоА (о) -(- 0О£ (о) |
— М0С(о) — QqD (о) |
||
У,', (о) = у 0Л'(о) +0оВ'(о) |
- /)Т0С'(о) - QoD'(o) |
||
Уп (о) --=УоА"(°) +00В" (о) |
— М0С"(о) |
- |
(11.14) |
QoD"(o) |
|||
Уп (о) =УоА"'(о) + 0 о В " ' (о) |
— М0С'"(о) |
- |
Q qD " ’ (о) |
С учетом (II. 9), можно написать:
A ( o ) = F ?'м (о) + ф Г (о )+ ф ? 'м’р(о) ; |
|
|||||
+ ( о ) = Л ч' м (o)+iDiP (о) ++;q' м’ р (о) |
; |
|||||
B(o)=F§’n (о)+ф £ (о)+Ф?-м' р(о) ; |
|
|||||
B'(o)=F'2Q-M( о ) + Ф 2р (о )+ ф 2а м ' р(о) |
; |
|||||
С (о) = /? • м (о) + Ф 3Р (о) +фз4' м' р (о) ; |
|
|||||
C '(o )= F 3Q,M (о)+ Ф 3Р (o )+ t ;Q' м- р(о); |
||||||
D(o)=F?’* (о)+Ф4 (о ) + ф ? ’ М' Р ( ° ) |
; |
|
||||
D'(o) = /HQ' м' ( о ) + Ф 7 (о) + ф ? ' м' р (о) ; |
||||||
А " ( о ) |
+[Q'м ( о ) + Ф[р ( о) + |
|
м'р (о ) ; |
|||
А '" ( о ) = |
/ц Q' ( о ) + |
Ф["Р (о) |
+ |
+[”Q' м- р (о ); |
||
В " ( о ) = F l Q' м ( о ) + Ф;р ( о ) + |
|
м' р (о ); |
|
|||
В "'(о ) = |
f : q ’м (о )+ ф ;р (о )+ W2 q - м'р (о ); |
|||||
с " ( о ) = f ; q - м ( о ) + |
ф .;р (о ) + |
+;q'«■р(0>; |
||||
С " ( о ) = |
+3”Q' м( о ) + |
ф3”р ( о ) |
+ |
< Q' |
р ( О ) ; |
|
Щ о ) = FlQ' м (О) + Ф*р (о) + |
«• Р (О) ; |
|||||
d "'{o ) = |
f ; q ‘ м ( о ) + ф ;р (о) + +;q'«■р<0); |
|||||