Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
/ ? • »
F?,!A(o) = i
F2Q'M(o) = 0
Ff'n (o) = 0
м (о) = 0
ФГ(о)
фГ(о) = 0
ф2р (о) = 0
Фз ( о ) - 0
Фр (о) = 0
*f P' м’ р (о)
>F,q’ «■р (о) - 0
lF ?’ м’ р (о) = 0
'F?’ м' р (о) = 0
W? м’р (о) = 0
F\q-м (о)
/ 7 ' м (о) = 0
F2q'м (о) = 1
f 3q’» |
= o |
^;q' m(o) = о
Ф|Р(о)
ф ;р (о) = о
Ф2Р(о) = о
Ф3Р (о) = 0
ф7 (о) = о
W[Q’м' р (о)
if;q'm'p (0 ) = о
lF2Q’ м' р (о) - 0
»F3q' м' Р (о) = 0
if;q’m' p (O) = 0
f ;q’m(0 )
^;q' m (o) = о
f ;q' м (о) = о
^ 7 ’М(о) = !/£У(о)= 1/£'Л
K Q,M(o) = 0
Ф7 (о)
Ф7 (o) = ~ P I E J 0
Ф2р (о) = 0
Фзр (о) = 0
ф7 ( о) = о
^ Q’M' p (o)
w;q' m' p(0) = 0 if ;q>m’p (o) - o
4?lQ' м’ P (о) = 0 lF"Q,M, P(0) = o
Таблица U.l
K Q' M(o)
K Q’M(O) = 0 y=.;Q' M(o) = о f ; q' m(0 ) = o
/^ ■ м (о) = Г £ /(о ) = 1/£У0
ФГ ( 0)
ф Гр (О) = 0
Ф2Р {0 )= Pj FJ0
ФзР (о) = 0
ф 7 ( о) = о
< а м ’Р(о)
4v*rQ' м’ р (о) = 0 XF2Q’ м’ Р (о) = 0
ЧУзQ•м’р (о) = 0
'f ;,q’m>p (o) = о
Значения функций F®’м(л ). |
®Г(Х), |
lFQ' м- p ( . j c ) i i соответствую |
|||||
щих их производных при х = 0 |
определяются из |
(II. 10), |
|||||
(11. 11), (II. |
12) и приведены в табл. II. |
1. |
|
||||
Согласно |
этой таблице, |
а также |
зависимостей |
(II. 15), |
|||
легко можно установить: |
|
|
|
|
|
|
|
Л (о) = |
1; В (о) = 0 ; |
С (о)=0; |
D (o)= 0; |
|
|||
А '( о )= 0; В'(о) — 1; |
С '(о)= 0; |
D'(o)= 0; |
|
||||
|
в "(о)=0-, |
С " ( о )= - ? - ; |
D " (о) = 0; |
(11.16) |
|||
t J 0 |
|
|
EJ0 |
|
|
||
А'"(о) = 0 ; В'"(о) — ----— ; |
С,,,(о )= 0; |
D " ' = — . |
|
||||
|
EJn |
|
|
|
EJn |
|
|
Подставляя найденные значения функций А(х), В(х), С(х), D(x) и их производных при х = 0 из (II. 16) в (II. 14), полу чим:
Уп (о)=уо\ |
уп(о) = 0 О; |
Р |
— |
1 |
--= |
Уи{о)=— — |
уй- М 0-— |
||||
|
|
LJq |
|
tjQ |
|
— Уо~(Мо-Руо) — |
м о ” . |
Р . |
Q |
||
; Уп(о) = — — |
0О |
EJ0 |
|||
IzJq |
IzJ |
о EJ, |
EJ0 |
||
что полностью согласуется с граничными условиями рассма триваемой задачи.
Имея общее решение уравнения продольно-поперечного изгиба, из него как частный случай, получим решение задачи о поперечном изгибе балки. Для этого достаточно в общем решении (II. 8) принять Р = 0. Тогда получим:
3*п (х) — УоА[ (х) -J-0o£i (х) —МоС| (х) - ■QqD\ (х) + Ф 1(х) , |
(II. 17) |
|
где функции А\(х), |
В\(х), С, (х), D\(x) и Ф1(х) определяют |
|
ся следующими выражениями: |
|
|
|
СО |
|
А\(х) = 1+ |
— 1)" П" ф(х)я(х); |
|
|
П- 1 |
|
00 |
|
|
fii(x )= x + V ( — 1)" П"-' ф(х)к(х)П0ф(х); |
|
|
П-’ 1 |
|
|
|
СО |
( 11. 18) |
С,(х) = П 0ф(х) + |
V (— 1)|Ч1» ф(х)к(х)Поф (-*:); |
|
|
jamd |
|
|
U-i |
|
46
Di (x) = ПоХф(л:) + ^ ( - l ) n П" ф(л:)/с(х)ПоХф(А'); П—1
CO
Ф, (x) ="V ( _ 1)" П"-1ф (x)/с (x) Пф ( x ) (я) • n~ 1
§ 4. Анализ общего решения задачи поперечного изгиба балки
На основании полученного общего решения (II. 17) рас смотрим некоторые частные случаи расчета балок на сплош ном упругом основании и сопоставим полученные результаты
симеющимся в литературе решением.
I. Жесткость балки и грунта ее основания, а также интен сивность внешней распределенной нагрузки всюду постоян
ные, т. е.
Ф(х) = I /EJ(x) = l/£/=cont;
к(х) = к(х)Ь (х) =кЬ 0= const; |
q{x) = 90= const. |
Для этого случая решение (II. 17) принимает вид: |
|
Уп (х) = у М х ) +0оВ2{ х ) ~ ^ С 2{х) |
(х) + ф 2(х-), (11.19) |
EJ |
EJ |
где функции А2(х), В2(х), С2(х), D2(x) и Ф2(х) определяются выражениями:
СО
А 2 ( х ) = |
1 + |
|
\ EJ I |
(4л)! |
|
|
|
|
|
|
|||
В2( х ) = х + |
1)" ( -ji-Y |
|
4n + 1 |
|
||
-f- |
|
|||||
|
П- 1 |
\EJ) |
(4/1+1)! |
|
||
|
|
|
|
|
||
C! W = + - V ( - 1 ) " + y _ + L |
( 11.20) |
|||||
2 |
|
|
\ E j ) |
(4/1+2)! |
|
|
|
1 1 - 1 |
|
|
|
|
|
|
CO |
|
к |
|
|
|
D2(X)==+3 |
+ |
( - 0 " |
|
+ 3 |
|
|
D |
|
EJ j |
(4//+3)! |
|
||
|
n - |
t |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
Ф2 (x) .Jh |
( - l + i |
/ к \'n+1 |
v:'ln |
|
||
- |
|
(4«) ! |
|
|||
' EJ |
|
1EJ) |
|
|
||
47
Проверим достоверность полученного решения (II. 19) для рассматриваемого частного случая задачи. Для этого, очевид но, достаточно будет показать, что решение (II. 19) представ ляет собой общее решение известного неоднородного уравне ния для поперечного изгиба балки с постоянной жесткостью и постоянным коэффициентом постели, имеющего вид:
E J d у № + ку(х)= д(х). |
(11.21) |
dx' |
|
Для простоты рассмотрим однородное уравнение
E j t y W + ку(х) = 0, |
(11.22) |
dx' |
|
хотя анализ решения неоднородного уравнения (11.21) также не представляет особого затруднения.
Общее решение (II. 19) в рассматриваемом случае примет вид:
Уп (*) = у0 |
1+ V |
( - D |
" 4- |
^ |
. ” |
Н~ х + |
|
|
|
|
|
|
(4/г)! |
|
|
( — 1) “ |
4_Пдг*^Иj^4n4 1 |
Жо |
Х" 1 У |
( |
1)п4"«4" ^ " +а |
||
(4л + |
1)! J |
EJ |
° |
7 |
J |
(4п + 2)! |
|
П®1 |
|
|
|
|
n-l |
|
|
|
Qo |
х |
( — 1)" |
4Пя4п л'4п+3 |
|||
|
— + |
(4л+ |
3)! |
||||
|
EJ |
6 ^ |
|
|
|||
|
|
П= 1 |
|
|
|
|
|
где
— — 4 — 4а4
EJ AEJ
Для сравнения с последним полученным решением извест ное общее решение однородного уравнения (II. 22) удобно представить в виде [77]:
у (х) = А у х(ах) + Ву2 (ах) -f Сг/3(ах) +DyA(ах),
где функции у [(ах), у2 (ах), у3 (ах) и уа(ах) четыре линейнонезависимых интеграла уравнения (II. 22), определяемые вы ражениями:
У\(ах) = с1шх-cosax ;
у2(ах) = chax-sinax-|-shax-cosax ;
48
Уз(ах) = shax-sinax ; г/4(ax) = chax • sinax—shax ■cosax.
Постоянные интегрирования А, В, С и D здесь определяют ся через начальные параметры следующими выражениями:
А — у0; 5 = — ; С = |
------; D = |
-------------- . |
2a |
2 a2EJ |
Aa3EJ |
Таким образом, задача сводится к проверке справедливо сти следующих равенств:
г/ochaxcosax = |
у0 |
|
1+ |
У |
( - |
1). |
411 («*)«■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4-1)! |
— (chaxsinax-f-shaxcosax) = |
0О |
|
|
4" u4ni ,n+1 |
||||
Х + |
|
(An + 1)! |
||||||
2a |
|
|
|
|
|
П’ |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.23) |
М 0 , |
. |
М 0 х ‘ |
|
|
4" a4n x4n+2~ |
|||
------ chax-sinax — |
— |
|
|
( - Dn (An + 2)! . |
||||
2a2£7 |
|
E J |
|
|
||||
^°- |
(chaxsinax— shaxcosax) = |
yi |
||||||
— |
||||||||
4a*EJ |
Vn “ 1 |
|
|
|
|
|
EJ 7 + |
|
|
|
|
4n a4n х4п+3 |
|||||
|
( |
- 1)" |
(4я + |
3)! |
|
|||
Для этой цели воспользуемся следующими разложениями гиперболо-тригонометрических функций [78]:
chax-cosax= ^ |
|
( а х ) In—4 |
(—4)n_1 |
||
n«1 |
|
1-2-3... (4/i—4) |
|
|
|
chaxsinax + shaxcosax = |
2 |
(ax)4n_3 |
(—4)n“ ‘ ----- '--------- |
||
1-2-3... (-4/1—3)
n = l
(11.24)
shaxsinax=2 > |
( —4)n_1 |
(ax)4"-2 |
------------------- , |
||
Z |
j |
1-2-3... (4/1-2) |
П«=1 |
|
|
49