Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

W(p)/[l+riW(p)] в левой полуплоскости, позволяет сделать вывод, что функция W ( p W + r tW ( p ) W I ( r * —гО является положительной и вещественной. Но тогда последнее уравнение системы можно трактовать как уравнение цепи, состоящей из последовательного соединения пассивного двухполюсника, нелинейного резис­ тора со строго возрастающей вольтамперной характеристикой и ограниченного источника напряжения. В силу следствия 1 из теоремы 2.6, такая цепь является конвергентной, а в силу теоремы 2.1 и комментариев к ней — также и диссипа­ тивной. Отсюда немедленно следует вывод об абсолютной устойчивости рассмат­ риваемой системы.

Отметим, что аналогичные рассуждения позволяют получить из теорем 2.6 и 1.1 также и критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова для положения равновесия автономных систем {9, 46]. Однако в данной книге, посвященной в первую очередь иссле­ дованию вынужденных режимов, нет возможности подробнее оста­ новиться на этом вопросе.

Следствие 2.

Любой пассивный многополюсник, содержащий элементы R, L, С и зависимые источники и нагруженный на нелинейные резистив­ ные двухполюсники с характеристиками, удовлетворяющими усло­ вию (2.31), является конвергентным при произвольных независи­ мых источниках напряжения и тока, включенных соответственно в произвольные ветви и между произвольными узлами.

Оценка времени переходного процесса в конвергентных цепях

В линейных R, L, С-цепях, как известно, время переходного' процесса можно оценить, если известны комплексные частоты соб­ ственных колебаний цепи. Если рт = —cxm+ia>m — ближайшая к мнимой оси частота собственных колебаний цепи, а т > 0 , то часто в качестве постоянной времени т переходного процесса принимают величину X—lJoLm.

Для нелинейных цепей, в общем случае, получение априорных оценок времени 'переходного процесса представляет собой весьма трудную задачу. Однако для конвергентных цепей можно дать оценки, подобные соответствующим оценкам в линейных цепях. При этом постоянной времени т переходного процесса в нелиней­ ной -конвергентной цепи будем называть такое число, что ||ii(7)—

—te(t) II убывает .не медленнее, чем ехр (—t/т), где iy(t) — реакция цепи при одних, a iz(t) — при других начальных условиях.

45

Внимательное рассмотрение доказательства теоремы 2.6 пока­ зывает, что оно позволяет непосредственно получить требуемые оценки. Поэтому соответствующие теоремы формулируются ниже без доказательства.

Теорема 2.7.

Пусть в цепи, состоящей из последовательного соединения ли­ нейного пассивного двухполюсника z(p), нелинейного резистора и источника напряжения, вольтамперная характеристика нелинейного резистора обладает следующим свойством. При любых х и у

мени т переходного процесса тока в цепи оценивается из выраже­

ния — , где а — расстояние от мнимой оси до ближайшего к

а

мнимой оси нуля функции z(p)+R, когда R пробегает все значения от Ri до Ro.

П Р И М Е Р 2.5.

На рис. 2.12а изображена цепь, содержащая нелинейный резистор с вольтамперной характеристикой, показанной на рис. 2.126. Сопротивление линейной части цепи

Рис. 2.12. Цепь, исследуемая в примере 2.5, и вольтампер­ ная характеристика нелинейного элемента

Корни уравнения z ( p + R ) = 0 равны:

46

Общая теорема для произвольного числа нелинейных резисто­ ров формулируется аналогично.

Теорема 2.8.

Пусть электрическая цепь удовлетворяет всем условиям теоре­ мы 2.6. Тогда, если переходный процесс в цепи рассматривается от­ носительно токов, протекающих в ветвях, соединяющих линейную н нелинейную части цепи, то постоянная времени т переходного

процесса оценивается из выражения: т = — , где а — расстояние

от мнимой оси до ближайшего к ней полюса функций, являющихся элементами матрицы (z(p) +R)~l, причем элементы Rik матрицы R пробегают все допустимые значения Wik (i, k= \, 2,..., п).

2.3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В КОНВЕРГЕНТНЫХ ЦЕПЯХ

Существование периодических режимов

В этом параграф^ мы всюду будем считать, что все независи­ мые источники напряжения и тока являются периодическими функ­ циями времени с периодом Т (кратко Т — периодические функции).

Рассмотрим конвергентную цепь, удовлетворяющую всем усло­ виям теоремы 2.6. Пусть, кроме того, линейная часть цепи удов­ летворяет условию 4 теоремы 2.2. Тогда рассматриваемая цепь не только конвергентна, но и диссипативна. В самом деле, из условий 3 и 4 теоремы 2.6 следует, что вектор-функция, описывающая нели­ нейную часть цепи, равномерно аппроксимируется вектор-функция­ ми, описывающими систему кусочно-линейных резистивных много­ полюсников (см. § 1.3). А тогда, в силу теоремы 2.2, цепь диссипа­ тивна.

Теперь из теоремы 2.5 мемедленно следует, что-чз исследуемой це­ пи существует, по крайней мере, один периодический режим. На самом деле, как показано ниже, для диссипативной и конвергент­ ной цепи можно получить значительно более содержательную ин­ формацию о периодических режимах.

Основные свойства периодических режимов в конвергентных цепях

Теорема 2.9.

Пусть конвергентная цепь с Г-периодическими независимыми источниками удовлетворяет всем условиям теоремы 2.6 и, кроме того, ее линейная часть удовлетворяет условию 4 теоремы 2.2.

Тогда:

1)В цепи существует, и притом единственный, периодический режим.

2)Этот режим асимптотически устойчив в целом и его период равен Т.

47

Г ЛАВА Т Р Е Т Ь Я

Расчет вынужденных режимов нелинейных цепей

3.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Вданной главе основное внимание уделяется исследованию пе­ риодических режимов в нелинейных цепях при периодических внешних воздействиях. При этом предполагается, что периодичес­ кий режим в цепи существует, является единственным и асимпто­ тически устойчивым в целом и имеет период, соизмеримый с перио­ дом внешнего воздействия. Таким образом, исследуются в основ­ ном конвергентные цепи, что позволяет применять подходы, исполь­ зование которых в общем случае представляется проблематичным.

Все существующие методы расчета периодических режимов в нелинейных цепях можно разделить на две группы. В первую вхо­ дят методы, основанные на расчете переходного процесса в цепи вплоть до установившегося режима. Достоинством этих методов являются достаточно хорошо отработанные к настоящему времени программы расчета на ЦВМ [32, 53]. Однако часто время переход­ ного процесса в цепях может в десятки и сотни раз превышать дли­ ну периода установившегося режима. В этом случае, если по ус­ ловиям задачи представляет интерес только периодический режим, машинное время используется чрезвычайно нерационально. Други­ ми недостатками методов первой группы являются заметное воз­ растание сложности расчета при увеличении порядка цепи, необхо­ димость представления уравнений цепи в форме Коши и численная неустойчивость при большом шаге расчета.

Ко второй группе относятся методы, позволяющие рассчитать периодический режим, минуя расчет переходного процесса [34, 48, 60]. Не останавливаясь подробно на сравнительной оценке сущест­ вующих методов второй группы, отметим лишь, что эти методы так­ же имеют свои отрицательные стороны. Например, трудно назвать метод, который был бы свободен хотя бы от одного или нескольких из следующих недостатков: не всегда достаточная точность прибли­ женного решения; трудность оценки погрешности; неопределенная или слишком узкая область применения; громоздкость расчетных формул и т. д. Уже сам факт наличия многих методов зачастую является недостатком, так как заставляет инженера решать не­ легкую задачу сравнительной оценки методов. Этой трудности

49