Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

1) упрощается численный расчет вынужденного установивше­ гося режима, так как не нужно задавать область допустимых на­

чальных условий; 2) спроектировав цепь с требуемым вынужденным режимом,

инженер может быть уверен, что именно этот режим установится в- цепи независимо от начальных условий и момента подключения

этой цепи к источнику; 3) цепи, обладающие указанным свойством, более надежны в

эксплуатации, так как не подвержены влиянию возможных кратко­ временных изменений параметров, а также всплесков токов или

напряжений.

Возникает вопрос, существуют ли нелинейные цепи, обладаю­ щие указанным свойством, и если да, то насколько широк класс этих цепей? Во всяком случае желательно, чтобы этим свойством обладали такие устройства, как усилители, функциональные преоб­ разователи, нелинейные корректоры и т. д. В данном параграфе дается ответ на этот вопрос применительно к цепям с нелинейной резистивной частью.

Пусть вновь нелинейная цепь описывается ур-нием (2.1) и пусть i'(i) — вектор-функция токов в цепи при некоторых начальных условиях, заданных в произвольный момент t=to. Если i"(t) — век­ тор-функция токов в той же цепи, но при других начальных усло­ виях при t —to, то указанное выше свойство выражается в том, чтонезависимо от начальных условий и значения to

Следует отметить, что часто в литературе [22, 44] конвергентны­ ми называют цепи, содержащие периодические источники с одина­ ковым периодом, обладающие периодическим режимом и удовлет­ воряющие условию (2.25). Такое определение исключает из рас­ смотрения широкий класс цепей с непериодическими источниками и требует установления факта существования периодического режи­ ма. Эти дополнительные требования не представляются естествен­ ными, если строго следовать смыслу слова конвергентный (сходя­ щийся в одной точке). Кроме того, как будет показано ниже, все конвергентные цепи, изучаемые в данной главе, обладают свойст­ вом конвергенции и в смысле [22, 44].

Критерии конвергентности

Вначале сформулируем и дадим обоснование критериям кон­ вергентности в возможно более общем виде, а затем рассмотрим частные случаи, представляющие практический интерес.

Теорема 2.6.

Пусть исследуемая цепь описывается ур-нием (2.1), в котором: 1) г(р) — матрица п Х п сопротивлений пассивного линейно

многополюсника.

40

Доказательство.

Пусть x(t) = (X[(t), Xz(t),..., xn(t))T — решение ур-ния (2.1) при некоторых начальных условиях при £=0, a y(t) — (y\.(t), yz(t),..., ,..., г/п(0)т — решение того же уравнения при том же внешнем воз­ действии, но при других начальных условиях. Подставив в ур-ние (2.1) вместо i(t) сначала x(t), а затем y(t) и вычтя из первого по­ лучившегося тождества второе, получим

торой внешние источники отсутствуют, линейная часть описывает­

В силу условия четвертого теоремы квадратичная форма (2.28) яв­ ляется положительной. Линейный многополюсник по условию пас­ сивный, поэтому энергия в цепи, описываемой ур-нием (2.27), мо­ жет только рассеиваться. Отсюда уже можно сделать вывод, что все токи стремятся к нулю, т. е. ||x(t)—y(t) ||->0 при £-*-оо. Однако это рассуждение, представляющее типичный пример использования энергетических соображений, нуждается в более строгом обосно­ вании.

Так как x(t) и y(t) — вполне определенные функции времени,

то функции 'Fftifai, х%..., хп, Уи yz,-, У п ) ( к ■£= 1, 2,..., п) также опре-

41

делены в любой момент времени 0. Заменим эти функции в вы­ ражении (2.26) ступенчатыми (кусочно-постоянными) функциями на отрезке времени так, чтобы разность между исходны­ ми и ступенчатыми функциями не превышала по абсолютной вели­ чине е. Если теперь выражение (2.26), но со ступенчатыми функ­ циями, подставить вместо f(x, у) в (2.27), то, в силу непрерывной зависимости решений уравнений от изменения параметров [45], но­ вое решение измененного ур-ния (2.27) будет отличаться от старого (по норме) не более чем на 6(e), причем 6->-0 при е->-0.

Пусть (tij, t2j) — некоторый j-й интервал времени, в течение которого все ступенчатые функции сохраняют постоянные значе­ ния (7=1, 2,...,). Тогда в течение этого времени цепь можно рас­ сматривать как линейную, представляющую соединение многопо­ люсника с матрицей z(p) и линейного безынерционного многопо­ люсника с некоторой матрицей сопротивлений zRy При достаточна малом е zRj, в силу условия 4, является положительно определен­ ной матрицей. Токи в такой цепи вызваны освободившейся энерги­ ей в реактивных элементах многополюсника z(p), накопленной в момент t=tij. Поэтому, если ie (t) — вектор-функция искомых то­ ков, то согласно теореме Тевенена

жений на разомкнутых клеммах многополюсника z(p). В выраже­ нии (2.29), как известно из теории линейных цепей, полюса состав­ ляющих вектор функции L[ie (t)] находятся среди полюсов элемен­ тов матрицы (z(p)+zRj). Так как матрица z(ico)+zT(—ito) — по­ ложительно полуопределенная, a zRi — положительно определен­ ная матрица, то матрица z(ico)+zT(—ico)+2zRi — также положи­ тельно определенная и все элементы матрицы (z(p) + -fZflj)-1 имеют полюса, расположенные строго в левой полуплос­ кости. Элементы матрицы zRj ограничены, в силу условия 3 тео­ ремы, поэтому полюса элементов матрицы (z(p) +zRj)~l отделимы от мнимой оси. Иными словами, расстояние от ближайшего к

остается показать, что коэффициенты числителей дробно-рацио­ нальных функций, являющихся элементами L(ie (t)), не могут не­ ограниченно возрастать, когда / пробегает значения 1, 2,...

Но это действительно так, поскольку коэффициенты элементов матрицы z(p) вообще не зависят от j, элементы матрицы zRj огра­ ничены константами, не зависящими от j, а элементы числителей дробно-рациональных функций матрицы L[ujxx(t)] линейно зависят от начальных условий при t=ti. Запасы же энергии в реактивных

42

элементах цепи при t=<tij не превосходят этих запасов при t = О, по­ этому коэффициенты элементов матрицы L[UjXx(t)] также ограниче­ ны константами, не зависящими от /. Тем самым (2.30) действи­ тельно имеет место. Устремляя е к нулю, получаем требуемое ут­ верждение теоремы.

Из доказанной теоремы вытекают следующие важные следст­ вия.

Следствие 1.

Любая электрическая цепь, состоящая из линейных элементов

.R, L, С, М и и нелинейных резистивных двухполюсников с неубы­ вающими вольтамперными характеристиками uh = fh(iu) (k —\, 2,..., п), при условии, что

является конвергентной. Этот факт установили независимо друг от друга Л. А. Синицкий и Р. Даффин [54, 62].

Из теоремы 2.6 это утверждение вытекает, если учесть, что вы­ ражение (2.26) в рассматриваемом случае принимает вид: fh(Xh) —

—hi(iJh) = (xk—yk) xYh(Xh, iju), RhisC'Yh^Ria, /е=4, 2,..., п

П Р И М Е Р 2.3.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединения линейного R, L, С-двухполюсника с сопротивлением г(р), произвольного источника напря­ жения и нелинейного резистора с неубывающей вольтамперной характеристикой. Если условие (2.31) не выполняется, т. е. вольтамперная характеристика содер-

Рис. 2.10. Цепь, содержащая вентиль с идеальной ха­ рактеристикой

.жит вертикальные или горизонтальные участки, то цепь может быть неконвер-

•гектной. Простой пример такой цепи приведен на рис. 2.10а, а на рис. 2.106 изо­ бражена вольтамперная характеристика идеального диода.

причем строгая положительность указанных функций имеет место при всех час­ тотах ш, включая бесконечную точку, то цепь останется конвергентной, даже если допустить наличие вертикальных или горизонтальных участков у нелинейной вольтамперной характеристики. Чтобы показать это, достаточно произвести пре­ образования цепи так, как показано на рис. 2.2.

43

П Р И М Е Р 2.4.

На рис. 2.11 изображена структурная схема нелинейной системы автоматиче­ ского управления при внешнем воздействии f(t). Покажем, как из полученных выше результатов можно вывести критерий абсолютной устойчивости системы, совпадающий с критерием Б. Н. Наумова и Я. 3. Цыпкина [43].

Будем считать, что f(t) — ограниченная функция и что нелинейная функция Е(ст) является дифференцируемой и удовлетворяет следующим неравенствам:

,df(a)

П+е^ —--- <г2—е,

dа

е> 0 — произвольно малое, фиксированное число, r i> 0 . Уравнение системы можно записать в виде

W (р) ° (^ + F (<l) = W (р) f (<)'

Обозначим

F(a) =riO+Fi[a).

В силу приведенного выше неравенства для F(a) имеем

Введем замену переменных

Ft (ст) =(Ti, o=(p(O i).

Очевидно, что ф (cti) — монотонно возрастающая функция и, кроме того.

<7l

Ф (Oi) > ч - т 1 - е

В новых переменных уравнение системы примет вид

плоскости. Тогда, в силу ограниченности функции f(t), будет также ограниченной

1

Ф(CTi) = ------- CTi+<pii(CT,).

r2 — rl

44