Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

метод заключается в переходе от исследуемой цепи к другой, имею­ щей близкий периодический режим, но существенно более короткий переходный процесс. Тогда расчет второй цепи методами первой группы, например, типа Рунге-Кутта, значительно упрощается. С точки зрения обшей схемы аппроксимации линейных операторовподобный переход от одной цепи к другой соответствует заменематрицы z(p) в (3.1) такой матрицей А(р), которая, удовлетворяя (3.4), обладает в то же время частотами собственных колебаний, од1ви'иутьшн левее от мнимой оси, по сравнению с z(p) [16].

Таким образом, три известных метода, кажущиеся, на первый взгляд, совершенно различными, укладываются в одну общую схе­ му аппроксимации линейных операторов. Тем самым эта схема по­ зволяет с единой точки зрения взглянуть на эти и подобные им методы, определить их взаимосвязь и дать единую методику оцен­ ки погрешности с помощью формул вида (3.8) и (3.9). Дальнейшиеследствия общего подхода, относящиеся к численным методам, из­ ложены в следующем параграфе.

Не менее важное значение описываемого подхода состоит в том, что он позволяет конструировать новые методы, которые мо­ гут оказаться более эффективными, чем существующие. Как виднона примере трех описанных выше методов, каждый вид матрицы А(р) порождает свой метод анализа. Поэтому может быть созда­ но, в принципе, бесчисленное множество новых методов и общую схему аппроксимации линейных операторов можно назвать «гене­ ратором» методов.

Все сказанное приводит к заключению, что общая схема ап­ проксимации линейных операторов дает варианты решения первой из задач, поставленных в начале этого параграфа.

П Р И М Е Р З Л .

55,

Подставляя сюда выражения из (3.11) и (3.12), находим после несложных рас­ четов

-2 = ] / ( 1.12U3m + Um)- -г (0 ,7 4 2 (4 ) а

—I!—z(13)V (О II 110,136 cos 37Ц = 0,192.

а0,5

3.3.ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ

ВНЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ «

Аппроксимация дробно-рациональных функций отношением экспоненциальных полиномов

Экспоненциальным полиномом называется выражение вида 2 Л/;е “&р t Ak, a,h — константы.

Излагаемый здесь метод расчета периодических режимов укла­ дывается 1в общую схему а1П1П1рок1симации линейных оператаршв и

') Результаты этого параграфа получены автором совместно с О. К. Л и п- к а н ь.

56

заключается в том, что элементы матрицы А(р) берутся в форме отношения двух экспоненциальных полиномов. Более точно, пусть

Лри этом коэффициенты Дм, Сш, аш и Рш в (ЗЛ4) должны быть выбраны так, чтобы для каждой пары функций Aik(p) и гш(р) вы­ полнялись условия (3.4). Кроме этих условий, к функциям Aib-(P) будет предъявлен еще ряд требований, накладывающих определен­ ные ограничения на все коэффициенты в правой части (3.14). Прежде чем излагать эти требования, рассмотрим особенности ре­ шения ур-ния (3.2), если в нем элементы матрицы А(р) имеют вид

(3.14).

Для простоты ограничимся цепью с одной нелинейностью и тогда в ур-нии (3.2) А(р) — не матрица, а скалярная функция. Пусть А (р) имеет следующий вид:

i

V Вк йакР

которое представляет собой уже не дифференциальное, а алгебраи­ ческое уравнение с запаздывающим аргументом. Как будет показа­ но ниже, коэффициенты в этом уравнении могут быть выбраны так, что отыскание его решения будет представлять значительно более простую процедуру, чем для исходного ур-ния (3.1). В общем слу­ чае матричного ур-ния (3.2) мы действуем аналогично и вместо од­ ного ур-ния (ЗЛ6) получаем систему уравнений подобного вида.

57

Таким образом, общая идея предлагаемого в данном парагра­ фе метода состоит в том, что решения системы нелинейных диффе­ ренциальных уравнений заменяется решением некоторой системы

•алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом1).

Выбор формы экспоненциальных полиномов

Если выбрать элементы матрицы А(р) в форме (3.14) и потре­ бовать выполнения равенств (3.4), то при условии существования для ур-ния (3.2) Г-периодического решения последнее, как показа­ но выше, будет близким к Г-периодическому решению ур-ния (3.1). Однако сам факт существования Г-периодического решения ур-ния (3.2) вовсе не очевиден. Требование существования Г-периодичес­ кого решения есть второе требование (наряду с условиями (3.4)), предъявляемое к выбору коэффициентов в (3.4).

В зависимости от того, как выполняются эти требования, полу­ чаются различные модификации метода расчета. Один из подходов, позволяющий разработать простой и всегда сходящийся алгоритм

Отсюда видно, что функции Ац,(р) действительно представляют ■собой отношения экспоненциальных полиномов. При этом оказы­ вается, что хотя мы можем варьировать лишь двумя коэффициен­ тами у и Г, этого достаточно, чтобы удовлетворить всем требовани­ ям, предъявляемым к матрице А(р). Рассмотрим вначале требова­ ние (3.4). Как показывает (3.17), равенства

будут выполнены, если выполнены следующие равенства:

При / = 0 равенство (3.19) выполняется автоматически.)*

*) Отметим, что внешне похожая идея, применяемая, однако, для решения совсем других задач, была предложена Л. М. Гольденбергом [15].

■58

Если т > 1, то точно выполнить все равенства (3.19) невозмож­ но. Однако их можно выполнить с любой степенью точности и для любого т, если взять в (3.19) Я достаточно малым положительным

тей (3.19) при /=1, чтобы такое совпадение имело место с наперед, заданной точностью при 1 = 2, 3,..., т для любого т, если выбрать Я достаточно малым. Возьмем, в качестве примера, Я=0,01. Тогда из

соответственно 12,566 и 12,581, а при 1 = 3 — 18,84 и 18,90.

В таблице 3.1 приведены значения у при различных Я, а также значения правой и левой частей (3.19) при различных I и при 7=1,

вых 13 номерах гармоник. Таким образом, выбором собтветствующего значения Я, действительно, можно с любой точностью удовлет­

Нетрудно убедиться в том, что это преобразование переводит мнимую ось плоскости z{ в мнимую ось плоскости г2 и левую по­ луплоскость Zi в левую полуплоскость г2. Поэтому, если, например, Zik(p) является лоложительной вещественной функцией, то и функ­ ция Aik(p), определяемая из (3.17), является таковой. Более того, если матрица z(p), имеющая элементы гш(р), является матрицей сопротивлений пассивного многополюсника, т. е. удовлетворяет ус­ ловиям, приведенным в § 1.2, то этим же условиям удовлетворяет матрица А(р) с элементами Aih(p).

Пусть матрица z(p) удовлетворяет условиям теоремы 2.9. Тогда ур-ние (3.1) имеет единственное, устойчивое в целом Г-периодиче- ское решение. В силу сказанного выше, матрица А(р) также будет удовлетворять условиям теоремы 2.9. Применяя к ур-нию (3.2) рас­ суждения, аналогичные тем, которые были использованы при до­ казательстве теорем 2.6 и 2.9, приходим к выводу, что это уравне­ ние обладает свойством конвергентности и диссипативности, а по­ этому имеет устойчивое в целом, и притом единственное Г-перио- дическое решение.

59-