Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

можно было бы избежать, если бы удалось разработать подход,, позволяющий рассмотреть на единой основе различные на первый взгляд методы. Такое рассмотрение не только помогло бы лучше понять, какое место занимает тот или иной метод среди других, но и создало бы предпосылки для разработки новых, более эффектив­

ных методов.

Для успешного развития качественной теории, а также для це­ лей проектирования нелинейных цепей, необходимо не только уметь находить периодические режимы при численных значениях пара­ метров цепей, но и получать достаточно простые общие формулы. В настоящее время этим требованиям, в определенной степени, видимо, удовлетворяет метод гармонического баланса [9, 47]. Одна­ ко учет на его основе более чем одной гармоники нередко приводит к практически необозримым выражениям. Например, уже при ана­ лизе цепи, состоящей из последовательного соединения источника синусоидального напряжения, линейного двухполюсника и идеаль­ ного вентиля, попытка учета, кроме первой, еще и нулевой гармо­ ники, приводит к серьезным техническим трудностям.

Все сказанное приводит к постановке следующих задач.

1.Разработка такого подхода к исследованию периодических режимов, который позволил бы рассмотреть с единой точки зре­ ния ряд существующих методов и создать предпосылки для появле­ ния новых, более эффективных методов расчета.

2.Разработка такого численного метода расчета периодических режимов в нелинейных цепях, который позволил бы:

а) составить возможно более простую программу для ЦВМ; б) не проводить вообще или максимально упростить расчет пе­

реходного процесса в цепи; в) получить результат с любой заданной точностью;

г) обеспечить минимальную зависимость сложности расчета от порядка цепи.

3. Разработка таких методов исследования нелинейных цепей в общем виде, которые сочетали бы достаточную точность с воз­ можной простотой окончательных формул.

Полное решение всех трех задач потребует, видимо, долгих уси­ лий многих исследователей. В данной главе приводятся некоторые первоначальные результаты, полученные в этом направлении, ко­ торые позволяют исследовать ряд практически важных вопросов. Все, что получено при решении второй и третьей задач, является следствием подхода, разработанного для решения первой задачи.

3.2.АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Классы уравнений с близкими периодическими решениями

Рассмотрим вновь уравнение цепи в основной матричной форме

решение уравнения i(t) ==i(t+r), заранее считая, что оно сущест-

50

вует и является единственным. Последнее, в частности, обязатель­ но имеет место, если цепь удовлетворяет условиям теоремы 2.9.

Поставим вопрос: нельзя ли заменить ур-ние (3.1) другим урав­ нением, являющимся его упрощенной моделью, которая, однако, с достаточной точностью воспроизводит тот же периодический ре­ жим i(t)? Оказывается, что такую модель (и даже бесчисленное множество моделей) действительно можно построить, если заме­ нить матрицу z(p) в (3.1) другой, связанной с z(p) определенными соотношениями. Обозначая новую матрицу через А(р), приходим к следующему уравнению:

приближения i'(t) к i(t). Иными словами, для каждого е>0 долж­

3.Для ур-ния (3.2) должны существовать более простые, в оп­

ческое решение и требование 1 выполнено. Отметим, что в дальней­ шем будут построены и такие матрицы А(р), которые не являются матрицами сопротивлений пассивных многополюсников, однако до­ пускают Г-периодическое решение (3.2).

Для выполнения второго требования, предъявляемого к матри­ це А(р), предлагается выбирать последнюю таким образом, чтобы имели место следующие равенства:

(3.4)

Здесь число т зависит от величины е в (3.3). Как будет показано в следующем пункте данного параграфа, выполнение равенств (3.4)

51

действительно влечет за собой неравенство (3.3). Условия (3.4) можно трактовать как аппроксимацию матрицы z(p) матрицей А(р) в некоторой области частот, поэтому в дальнейшем описывае­ мый подход будем называть методом аппроксимации линейных операторов.

Так как число т в (3.4) конечно, то это оставляет еще значи­ тельный произвол в выборе матрицы А(р), чем можно воспользо­ ваться для выполнения третьего требования. Этому вопросу также посвящен отдельный пункт данного параграфа.

Оценка близости периодических решений ур-ний (3.1)

и (3.2)

Покажем, как из условия (3.4) можно получить оценку (3.3). Предположим, что матрица z(p) в ур-нии (3.1) такова, что соответ­ ствующая эрмитовская матрица z (ia )+ z T(—ico) является строго положительно определенной. В этом случае, как следует из резуль­ татов § 1.2,

Wy(t)W = \\ y(t)<=LA(О, Т)\ г('ш )у^Ь 2(0, Т), а не зависит от со. Спо­ собы оценки величины а также приведены в § 1.2.

На нелинейную вектор-функцию срН') наложим ограничение, по­ добное тому, которое имело место при исследовании конвергентно-

В частности, если нелинейная часть цепи состоит из резистивных двухполюсников, то условие (3.6) требует, чтобы вольтамперные характеристики нелинейных резисторов были неубывающими.

Пусть теперь у (t)—Т — периодическое решение ур-ния (3.1), а у '( 0 —Т — периодическое решение ур-ния (3.2). Подставим эти ре­ шения соответственно в ур-ния (3.1) и (3.2), заменив р на ia, и вычтем из первого тождества второе:

2(1 со) у (О — Л 0 о) у' (0 + <р (у) — ф(у') = О

или

или, применяя к правой части неравенство Буняковского—Шварца,

< lly (0 -Y '(0 l|-||H (lc o )-z (ia )y '(0 ]||.

52

довании как линейных, так и нелинейных цепей метода состоит в том, что заданную систему дифференциальных уравнений заменяют другой системой, меньшего порядка [12, 33, 50]. При этом решение новой системы уравнений должно быть в том или ином смысле близким к решению исходной системы. Метод применяется^ и в за­ дачах синтеза цепей, так как понижение порядка уравнений позво­ ляет построить цепь, содержащую меньше элементов и, в опреде­ ленном смысле, эквивалентную исходной.

циональными функциями меньших порядков, чем соответствующие элементы матрицы z(p), то (3.2) будет системой дифференциаль­ ных уравнений меньшего порядка, чем система (3.1). Если еще к тому же потребовать, чтобы элементы матрицы А(р) удовлетво­ ряли условиям физической реализуемости, то на основании ур-ния (3.2) можно построить цепь, содержащую меньшее число элемен­ тов, чем в исходной цепи, но обеспечивающую периодический ре­ жим, близкий к режиму первоначальной цепи. Таким образом, ме­ тод понижения порядка уравнений, действительно, укладывается в общую схему аппроксимации линейного оператора, а ф-ла (3.8) позволяет оценить погрешность расчета. До сих пор оценка погреш­ ности была наиболее слабым местом метода.

2. М е т о д г а р м о н и ч е с к о г о б а л а н с а . Этот широко распространенный метод также является следствием общего мето­ да аппроксимации линейных операторов. Рассмотрим вначале

•сравнительно простую цепь, содержащую последовательно соеди­ ненные линейный двухполюсник с сопротивлением z(p), нелиней­ ный резистор с вольтамперной характеристикой ф(7) и источник -синусоидального напряжения u(t) с частотой co0Один из подходов к анализу цепи, основанный на методе гармонического баланса, ^состоит в том, что напряжение на нелинейном резисторе предпола­ гают синусоидальным с частотой шо: vp(i(t)) =-Umsm(<iiQt+a). Отсю­ да находят выражение для тока i и его гармонику с частотой соо, как функцию Um и а. Затем полагают, что сумма напряжения на линейном двухполюснике, вызванного гармоникой тока с частотой •wo. и синусоидального напряжения на нелинейном резисторе, равна приложенному напряжению. Отсюда определяют Um и а.

Нетрудно видеть, что вся эта последовательность операций со­ ответствует решению ур-ния (3.2), в котором функция А(р) выбра­ на так, что A(ikao) = Q, k = 0, 2, 3, 4..., A (ko0) =z(ico0). Действитель­ но, в этом случае первое слагаемое в (3.2) при периодическом то­ ке i'(t) является синусоидальным, а потому и напряжение y(i') на нелинейном двухполюснике — также синусоидальная функция. Если в методе гармонического баланса учитывают более одной гармоники, то в (3.4), кроме k= \, необходимо взять еще и другие значения k, соответствующие номерам учитываемых гармоник, а при всех остальных k положить A{\k((^o)=Q. Аналогично рассмат-

6 4