Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Доказательство

Предположим, как и при доказательстве теоремы 2.1, что нели­

напряжения и нового резистора, причем напряжение источника и сопротивление резистора являются ступенчатыми функциями вре­ мени и принимают соответственно значения, ui, uz,..., ип, Ru Rz. -: Rn. Объединяя все источники в один, получим, что амплитуда результирующего источника удовлетворяет неравенству тах |и (7)—

—v(i)—Ujl^Ui+Uz+U, где 17=maxUj. i

Для получившейся цепи из доказательства леммы 1 теоремы 2.1 следует, что коэффициент ai равен

ах = (Ux +U, + иг p]=minR,.

Р" /

Будем считать, что в цепях рис. 2.8 величина Rj совпадает с одной из величин Rh (&=1, 2,..., п) в (2.20).

Находя в общем виде оригиналы выражений в (2.18), получаем выражение для коэффициента Вт в лемме 3 теоремы 2.1:

36

Потребуем, например, выполнения неравенства <7<0Д Тогда, в си­

один нелинейный резистор и произвольное число реактивных эле­ ментов, внешний вид оценки (2.21) сохранится. Разница будет лишь в определении коэффициентов а и В-m, так как число и поря­ док функций вида (2.18) увеличатся.

Так как полученные оценки не зависят от формы внешнего воз­ действия, а зависят лишь от амплитуды, то они могут быть, в част­ ности, применены при расчете уровня шумов в нелинейных систе­ мах.

Если ограничиться более узким классом рассматриваемых це­ пей и интересоваться лишь амплитудой тока через нелинейный ре­ зистор, то можно получить значительно более простые оценки. Так, например, имеет место следующая теорема.

Теорема 2.4.

Пусть для цепи, состоящей из последовательного соединения произвольного R, L, С-двухполюсника с сопротивлением z(p), ис­

где h(t) = L~l ^ ^ j, L-1— обратный оператор Лапласа.

Таким образом, для оценки тока i(t) необходимо иметь инфор­ мацию об импульсной характеристике линейной цепи.

Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что функ­ ция z(p)+<R имеет все нули строго в левой полуплоскости (см. до-

37

казательство леммы 2 теоремы 2.1), поэтому h(t) убывает не мед­ леннее экспоненты и интеграл в (2.24) сходится.

Доказательство

Будем рассматривать цепь как линейную, состоящую из после­

нули строго в левой полуплоскости, то при t-*-оо ток в цепи не за­ висит от начальных условий и мы можем считать, что начальные

условия нулевые.

оо

Тогда ток определяется по формуле свертки: i(t)=\о m(t—т) X

Xh(%)d%, где ui(t) =u(t)—v[i(t)], h(t) — импульсная характеристи­

медленно влечет за собой (2.24). Теорема доказана.

Важность доказанной теоремы — не только в простоте оценок. Очень часто характеристики нелинейных резисторов заданы не во всем диапазоне —оо<о'<°о, а на конечном участке, определяемом из физических соображений. При построении моделей цепей ука­ занную характеристику вне пределов участка можно задать про­ извольным образом. Поэтому можно выбрать продолжение харак­ теристики так, чтобы было выполнено условие (2.23). Отсюда вид­ но. что класс цепей, удовлетворяющих условиям теоремы 2.4, весь­ ма широк.

Пример 2.2.

На рис. 2.9а изображена цепь, содержащая нелинейный резистор. Вольтамперная характеристика нелинейного резистора совпадает со сплошной линией на рис. 2.9б.

38

каких-либо дополнительных сведений удалось получить следующую, очень завы­

уменьшению интеграла в (2.24). В результате получается еще более точная оцен­ ка для i, которую вновь можно использовать как исходную и т. д.

В заключение отметим, что теорема, подобная теореме 2.4, мо­ жет быть сформулирована и доказана и для того случая, когда в дели содержится несколько нелинейных резисторов.

О периодических режимах в диссипативных цепях

Свойство диссипативности электрических цепей позволяет полу­ чить определенную информацию о периодических режимах в цепи.

■имеет место хотя бы один периодический режим. Доказательство этой теоремы дано в [44] и здесь не приводится.

Хотя сама по себе теорема 2.5 еще не дает какой-либо инфор­ мации о характере и числе периодических режимов, однако эти сведения можно получить, если наложить на диссипативные цепи некоторые дополнительные условия. Так, в § 2.3 приводятся усло­ вия, позволяющие определить период, а также доказать существо­

вание, единственность и устойчивость периодического режима в цепях.

2.2.КОНВЕРГЕНТНОСТЬ

Определение

Важным свойством линейных R, L, С-цепей является то, что вы­ нужденный режим их работы не зависит от начальных условий. С

инженерной точки зрения это свойство полезно по следующим при­ чинам:

39