Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Опишем подробнее процедуру отыскания периодического реше­ ния ур-иия (3.2). Чтобы избежать громоздких, но несущественных деталей, будем вначале считать, что ур-ния (3.1) и (3.2) —• ска­ лярные и г(р) и А(р) — скалярные функции от р.

Выбрав значения А, и у из соображений, которые будут приве­ дены ниже, вычисляем А(р) по ф-ле (3.17). Очевидно, что А(р) будеть иметь вид:

П

уa-kе—kip

mXp

m—Q

Подставляем (3.21) в (3.2) и после приведения к общему зна­ менателю, получаем

Уравнение (3.22), как указывалось выше, обладает свойством конвергенции, поэтому периодический режим не зависит от началь­ ных условий и последние можно выбрать произвольно. Положим i'(t)= 0 при f< 0 . Точно также будем считать, что u(t) = 0 при /< 0 . Тогда, полагая в (3.22) t = 0, получим

т= 1

Вуравнении (3.23) ф(0) и и(0) — известные величины, таким образом, получено алгебраическое или трансцендентное уравнение. Решая его, находим i'(0). Уравнение (3.23) всегда имеет единст­

Для того чтобы подготовить переход к уравнениям цепей, содер­ жащих несколько нелинейных элементов, рассмотрим внимательнее связь коэффициентов а0 и Ь0 в (3.23) и (3.24) с функцией z(p). На

основе ф-лы (3.17) и выражения (3.21) легко найти, что — = z(l);

ь0

61

ao= M(l); b0 = N(l), где М(р) и N(p) — полиномы числителя и зна­ менателя z(p). Так как мы предполагаем, что z(p) — положитель­

ная вещественная функция, то z ( l ) > 0 , а потому и - ^ > 0 . Кроме

£>о

того, Ь0¥=0, так как z(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости. Таким образом, поделив обе части ур-ний (3.23) и (3.24) на Ьо,

получим соответственно:

z (1) Г (0) + ф[£' (0)] = С0, z (1) V (к) + «р (£' (1)1 = Сь

Здесь С0 и Ci — известные величины.

Переходя к цепи, содержащей несколько нелинейностей, так что ур-ния (3.1) и (3.2) будут уже матричными, совершенно аналогич­

£'(0), i'(k) — неизвестные вектор-функции, ф[£'(0)] и ф[|1'(^)] — нелинейные вектор-функции; С0 и Ct — известные вектор-функции.

Последние выражения представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений, которую можно решить, например, ме­ тодом Ньютона—Рафсона [53]. В нашем случае, когда рассматри­ ваются в основном конвергентные цепи, решение этих уравнений всегда существует, является единственным и метод Ньютона—Раф­ сона сходится к решению при любых начальных условиях итера­ ции. В самом деле, если, например, линейная часть цепи состоит из элементов R, L, С и описывается матрицей z(p), то z(l) можно трактовать как матрицу, описывающую линейную цепь, полученную из исходной заменой каждой индуктивности Li резистором, сопро­ тивление которого численно равно L,-, и каждой емкости Ск — ре­

зистором с сопротивлением — . Тогда z(l) — матрица сопротив-

Ck

лений резистивной цепи и потому обладает свойством положитель­ ной определенности. Так как нелинейные вектор-функции удовлет­ воряют условию (3.6), то это, вместе с положительной определен­ ностью матрицы z(l), обеспечивает во всех случаях сходимость ме­ тода Ньютона—Рафсона к решению [17, 63,. 72].

Если длительность переходного процесса значительно превыша­ ет период внешнего воздействия, го объем вычислений резко воз­ растает, как и в случае применения метода Рунге—'Кутта. Способ ускорения расчета, который заключается в том, что переходный процесс рассчитывают с большим шагом, а затем, вблизи устано­ вившегося режима, шаг резко уменьшают, не может быть применен при использовании методов Рунге—Кутта, так как при большом шаге процесс расчета становится численно неустойчивым [32]. Из­

62

лагаемый метод свободен от этого недостатка и остается устойчи­

Поэтому расчет даже с большим шагом приводит к периодическо­ му решению, которое не очень сильно отличается от точного. Это решение может быть принято в качестве начального для оконча­ тельного расчета с малым шагом. Можно, например, рекомендо­ вать начать расчет при X —0,1 и найти 10 точек периодического ре­ шения. Затем применяя, скажем, линейную интерполяцию, найти между каждой парой исходных точек еще по одной точке с интер­ валом 0,050 и перейти к расчету с 1=0,050, используя полученные 20 точек в качестве значений i'(t—kX) в (3.22) (k= l, 2,..., 20). Если значения i'(t), найденные при А,=0,1 и Л,=0,05, отличаются друг от друга не более чем на заданную величину, то значения i'(t) при л = 0,05 принимаются как окончательные. В противном случае вновь находят линейной интерполяцией еще 20 промежуточных точек и повторяют расчет при /0=0,025 и т. д., пока значения i'(t), найден­ ные при двух последовательных значениях Л,, не будут совпадать с заданной точностью. Тогда окончательными принимаются значения

найденные при наименьшем значении X.

Оценка времени переходного процесса

Так как установившийся режим в излагаемом методе находит­ ся через переходный процесс, то целесообразно оценить время пе­ реходного процесса, а точнее, сравнить его с временем переходного процесса в исходном ур-нии (3.1). Для этого, как показывают тео­ ремы 2.7 и 2.8, достаточно оценить расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней нуля функции А(р). Нули А(р) определяются нулями z(p) на основе преобразования (3.20). Перепишем это пре­ образование в виде

часть (3.25) должна быть по модулю близкой к единице. Это, оче­

3) некоторые .нули функции z(p) имеют по модулю порядок у, однако их вещественные части малы.

63