Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
Рассмотрим эти случаи 'Подробнее.
■В первом случае имеем: |
e~AZ: « 1 — 2 — ; z2 « |
— . |
|
у |
Ху |
Из таблицы 3.1 видно, что Ху« 2 , поэтому tz2«izi. |
|
|
Таким образом, здесь расстояние нуля от мнимой оси примерно сохраняется тори переводе от г.(р) к А(р).
Во втором случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.26) |
|
; k Л |
|
|
|
|
Обозначая z2 = i X |
+ z3, —нечетное |
целое число, получим из |
|||
(3.26) 1— Xz3 |
|
, |
„ |
4 |
|
|
1 — — : |
ZS:~ |
X2 zj |
|
|
|
zt |
|
если, |
Z\ —достаточно большое |
|
Отсюда видно, что, |
|
например, |
|||
вещественное число, то z3 будет мало и z2 расположено близко к мнимой оси (напомним, что преобразование (3.25) переводит ле вую полуплоскость в левую полуплоскость, поэтому все нули А(р) будут лежать в левой полуплоскости, если этим свойством обла дают нули z>(p)). Однако в действительности требуется очень боль шое значение z u чтобы удлинение переходного процесса было су
щественным. Если, например, |
Х=0,1, то при |
\z\ | =4000 |
z3« 0 ,l. |
Но если | R e 1=0,1, то это |
соответствует |
постоянной |
времени |
т=10, что в 10 раз превышает период установившегося режима. Так как на самом деле X обычно имеет еще меньшее значение, чем 0,1, то заметное удлинение .переходного процесса наблюдается лишь в тех редких случаях, когда z(p) имеет нуль, превышающий по модулю в десятки тысяч раз к<нормалыные» значения. При этом «нормальными» будем считать такие значения Z \ , когда мнимая часть Z[ сравнима ПО' абсолютной величине с частотой внешнего
воздействия, т. е. с 2я, |
а обратная величина вещественной части — |
||||
с периодом внешнего воздействия, |
т. е. с 1. |
||||
Пусть теперь имеет место третий случай и Zi=ia+ico. Если a |
|||||
достаточно мало, то |
из (3.25) |
легко получить |e~Xz3| » l — |
|||
|
2 а |
. Отсюда |
| Re z21 |
2 I а | |
|
, |
со2 |
1 |
|||
|
|
||||
*1> + 7 |
|
|
|||
|
|
|
|||
Так как величина — имеет порядок единицы, то Rez2 и Rez. Y
величины одного порядка.
'Все сказанное позволяет сделать вывод о соизмеримости в большинстве случаев времени переходных процессов в ур-ниях (3.1) и (3.2). Поэтому о длительности переходного процесса в ур-нии (3.2) можно судить по расположению нулей г(р).
64
Алгоритм расчета
'Перечислим все ославные этапы расчета установившегося ре жима в цепи произвольного порядка. При этом 'будем считать, что внешние сигналы и параметры цепи нормированы таким образом, что период внешнего воздействия Т— \.
1. Рассчитываем матрицу z(p) линейной части цепи.
2. |
Полагая 7=0,1, |
у = 19,336, находим с помощью (3.17) А(р). |
3. |
Подставляя А(р) |
в '(3.2), приходим к системе уравнений ви |
да (3.23а) и (3.24а) |
и решаем их методом Ньютона—Р.афсона. |
|
Проведя расчет до установившегося режима, находим для каждой составляющей искомой вектор-функции 10 точек периодического решения с интервалом времени 0,1.
4. Между каждой парой найденных точек определяем, напри мер, с помощью линейной интерполяции еще по одной точке. Та ким образом, всего получается 20 точек с интервалом 0,05, которые используются как начальные для повторного расчета при л = 0,05. Е сли разность между решениями, найденными при 7 = 0,1 и 7=0,05, не превышает заданной величины, то расчет считается закончен ным и в качестве окончательного принимается решение, найденное при 7=0,05. В противном случае, определив с помощью линейной интерполяции еще 20 точек, повторяем расчет при 7=0,025 и т. д., пока решения, найденные при двух последовательных значениях 7, не будут совпадать с заданной точностью. Тогда окончательным считается решение, соответствующее наименьшему 7.
П Р И М Е Р 3.2.
Рассмотрим процедуру составления уравнений и проверки свойств, обеспечи вающих применимость описанного выше численного метода, на примере однокас кадного транзисторного усилителя — рис. 3.2а, где iB%(t) = iBi(t-rT).
Рис. 3.2. Транзисторный усилитель н его эквивалентная схема с нели нейной транзисторной моделью Эберса—Молла
На рис. 3.26 приведена эквивалентная схема цепи (без учета внешних источ ников) с транзисторной моделью Эберса—Молла 153]. Принимая в качестве неиз вестных величин токи б и i->, будем рассматривать цепь рис. 3.26 как лилейный четырехполюсник, ко входу и выходу которого присоединены нелинейные резисто ры. Нетрудно найти матрицу z(p) этого четырехполюсника:
Zii (р) z12 (р) '
z ( р ) = \
Lг21 (Р) Z22 (Р) .
' 3—27,5 |
65 |
где
, , |
£i£.. |
- a 'H - |
RlRbCiP fR,\- |
|
Z i l ( p ) = |
R ^ - |
(£-1 -Г Rs) CiP T |
I |
|
. . |
|
RJtnC.p + |
R< |
|
Zl2(p,= |
я 7 Т я Г ( | ~ а?)“ |
(R.i 'l- £5) C’iP ~r |
||
X (1 - ar) - а г |
R, |
£,£2 |
||
R-,C:P -'г I |
. z22 (p) = |
|
||
|
|
£1 + £2 |
||
Искомое уравнение цепи имеет вид |
|
|||
z( P)i(0+ 4> (i)=u (Q |
|
] |
||
|
z-n ( p) |
£i£3 |
1 |
1 £l -!- £2 |
|
(i - |
a/) -f |
Rn |
R3CIP+1 |
M = { h ( t ) , М 0 ) т; Ф ( 0 = ( ф , Ы , <P2fi2j)T; |
I |
(3 .27) |
|
“(0=(»i(0, «2(0)т; |
' |
|
|
(pifii) и фгО'з.) — вольтамперные характеристики нелинейных, резисторов; ih(t) и uz(t) — эквивалентные источники напряжения, включенные последовательно со ответственно с первым и вторым нелинейными резисторами, напряжение источни ков определяется по теореме об эквивалентном генераторе:
u , ( t )=• |
• |
- VR, |
RiRs |
- URi |
|
R1R2 |
|
Ri + R« + |’п*Ю |
£, -!-R3 u2(t) |
Ri 4 - £ 2 |
+ fns(0 |
«1 «2 |
Так как вольтамперные характеристики нелинейных резисторов являются мо нотонно возрастающими, то для того, чтобы рассматриваемая цепь была дисси пативной и конвергентной, достаточно покачать, что матрица z(ico )= zT(—ico) яв ляется положительно определенной.
Если расчет при численных значениях параметров цепи подтвердил наличие этого свойства, то для нахождения периодического решения ур-ния (3.27) можно применить метод, описанный выше.
П Р И М Е Р 3.3.
Для увеличения запаса устойчивости в схемах усилителей с глубокой обрат ной связью применяют нелинейные корректирующие цепи [41].
Одна из схем нелинейного корректора приведена на рис. 3.3а, а на рис. 3.36 изображена вольтамперная характеристика нелинейного элемента.
Рис. 3.3. Схема нелинейного корректора |
и вольтам- |
|
|||||
перпая |
характеристика нелинейного |
элемента |
|
|
|||
Параметры цепи |
(нормированные): и(1) = 19,2 sin (2зт/—72°); |
/?t = 5; |
С = 0,156- |
||||
£=0,1; £2=0,5. |
|
|
нелинейный |
элемент описанным вы |
|||
Определим периодический ток i(t) через |
|||||||
ше численным методом. |
линейной цепи относительно точек при- |
||||||
Вначале находим сопротивление z(p) |
|||||||
|
... |
„ |
, , |
0,39р2 + |
5,5р + |
25 |
|
соединения нелинейного элемента при u(t) = u |
z{p) = . |
|
------- |
. |
|||
Далее определяем напряжение ио(1) в точках присоединения нелинейного эле мента при обрыве последнего с гем, чтобы свести цепь к двухполюсной по тео реме Тевенена: uo(t) =6sin 2л
66
|
|
|
1 |
— е |
Хр |
|
В результате |
получаем |
|
В выражении для z(p) заменим р на у --------- ;— . |
|||||||||
|
1- е“ яР \ |
|
1 -Ь е_Хр |
|
|
|
|
||
A ( p ) = z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 0,39уг + |
5,5у + 25 |
+ (50 - |
0,78у2) е ~ Хр + |
(0,39 |
у2 |
- |
5,5у + |
25) е ~ 2Хр |
|
0,78у2 + у -|- 50 |
-|- (100 - |
1,56у2) е ~ Хр + |
(0,78у2 |
- |
у + 50) е ~ 2Хр |
||||
Подставляя |
А(р) в уравнение A(p)i(t) + <p(i) = m(t), приводим |
все |
к общему |
||||||
знаменателю и переходим к алгебраическому уравнению с запаздывающим аргу ментом:
(0,39у2+ 5,5 у + 25) i(t) + (50—0,78у2)£(/—Я) + + (0,39у2—б,5у+25)£(/—2Х) -Ь(0,78у2+ у +
+50) ф[£(/) ]+■( 100-1,56у2)ф[£ (/—Л)]+
+ (0,78у2—у + 50) ср[/((—2Х)] = (0,78у2+ у +
-h50)6 sin 2лг+ (100— l,56y2)6 sin 2л (/—д) +
+ (0,78у2—у + 50) Gsin 2m(t—2Х).
Из получившегося уравнения, полагая Х=0,1; у =19,336, находим последова тельно i(0), i (0, 1), /(0,2),... в соответствии с алгоритмом, описанным в данном параграфе.
Расчеты показали, что удовлетворительная точность получается при Л.=0,025. Значения установившегося тока в различные моменты времени приведены в табл. 3.2.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3.2 |
|
i |
|
£(0 |
1 |
|
Ш) |
|
|
t |
|
||||
?.=0.05 |
Я=0,025 |
Я=0,05 |
Х=0 ,025 |
|||
|
|
|||||
7,0 |
— 1,876 |
— 1,896 |
7,50 |
1,871 |
1,889 |
|
7,05 |
—0,8507 |
—0,8749 |
7,55 |
0,8600 |
0,8803 |
|
7,Ю |
—0,3052 |
—0,3187 |
7,60 |
0,3060 |
0,3189 |
|
7,15 |
0,05329 |
0,04347 |
7,65 |
—0,05436 |
0,04517 |
|
7,20 |
0,4714 |
0,4674 |
7,70 |
—0,4717 |
—0,4677 |
|
7,25 |
2,0736 |
2,0655 |
7,75 |
—2,075 |
—2,0644 |
|
7,30 |
2,993 |
2,986 |
7,80 |
—2,992 |
—2,981 |
|
7,35 |
3,301 |
3,299 |
7,85 |
—3,306 |
—3,300 |
|
7,40 |
3,165 |
3,172 |
7,90 |
—3,168 |
—3,170 |
|
7,45 |
2,662 |
2,676 |
7,95 |
- 2 ,6 6 4 |
—2,673 |
Связь излагаемого метода с некоторыми численными методами решения уравнений, записанных в форме Коши
Как уже отмечалось выше, метод, излагаемый в данном шараграфе, обладает, в отличие от методов Рунге—Кутта, численной устойчивостью .при любом шаге. Можно обнаружить тесную связь этого метода с друпими 'численными методами, если применить ме-
3* |
67 |
тод' аппроксимации |
линейного оператора к урa-вме>1миям, записан |
|
ным в форме Коши: |
|
|
* = / (х, 0 или рх == / (х, 0; Р = — . |
|
|
|
dt |
|
Замена оператора р |
выражением вида |
1- е~Хр |
у ---------- приводит уравие- |
||
ние в форме Коши к виду |
1+ е~Хр |
|
|
||
*Y(1 — е~Хр) jc= (1 + |
е_Хр) / (х, (). |
|
Отсюда, учитывая, что Ау=2, если К достаточно .мало и что опера
тор’ е Ярозначает сдвиг во времени на величину А, приходим к сле дующему уравнению:
x ( t ) ~ x ( t ~ X ) = ^-[x{t) + x(t — X)]
или, полагая /= i(n+ 1)А и x(kk) = хь\ x(tik) =хи, получим
•*>1+1 = Хп + ~ ( Хп+1+ хп)-
Но последнее выражение в точности совпадает с вычислительным алгоритмом, основанным на разложении экспоненциальной функ ции .по формуле Паде [32, 53] (формула трапеций).
Однако до сих пор устойчивость этого (метода констатирова лась, как правило, лишь для линейных цепей. Были предложены и другие численные методы, обладающие устойчивостью при любом шаге расчета {69]. Подход, связанный с аппроксимацией линейных операторов, позволяет рассмотреть все эти методы с единой точки зрения и сравнить их эффективность при расчете установившихся режимов. Например, в работе {69] обсуждаются методы, связан ные с применением следующих формул:
Хп+1= хп + ^ хп+1 |
1 |
|
и |
|
|
1 |
, 4 |
. 2 , • |
х . . = -------хп |
------х„ -\------Хх„... . |
|
Применяя только что описанные рассуждения, .нетрудно показать, что первая из написанных формул соответствует аппроксимации
оператора р выражением {1—е-Яр]Д, а |
вторая—выражением |
£3 е_2?-р__4е~Хр ]/2А. Оба эти выражения |
переводят левую полу |
плоскость в левую полуплоскость, откуда нетрудно вывести заклю чение о численной устойчивости соответствующих методрв. В то же время оба этих выражения с меньшей точностью аппроксимируют р *на шлимой оси, чем то выражение, которым <мы пользовались «в этом параграфе. В самом целе, пусть, например, А,=0,1 (и р = i2jt. Тогда
[1 — е0-И2л]/0,1 = 1,9 Ч- i 5,9,
[3 + е-о-2(2Л_ 4е-о,п2л}/0 2 = 0)39 4 j 71 «8