Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Таким образом, даже на основной 'гармонике оба выражения отличаются от i2n. Тем самым можно сделать вывод, что при рас­ чете вынужденных периодических режимов из трех рассматривае­ мых методов наибольшую точность дает при одном и том же шаге расчета описанный /в данном параграфе.

■В заключение отметим, что метод аппроксимации линейных операторов позволяет получить бесконечную серию все более точ­ ных, численно устойчивых формул численного интегрирования, -при­ чем две указанные выше формулы из работы {69] будут двумя на­ чальными шагами серии.

Для того чтобы показать это, обозначим

Подставл'яя р = i со, замечаем, что R e^i(i со) =к\ sin2- y ; Re/l2(i со) =

■Четность степеней синусов обеспечивает неотрицательность Rej4i (i со) и Re/l2'(i со), что является необходимым условием чис­ ленной устойчивости методов.. Напрашивающееся обобщение со­ стоит в том, чтобы построить такие операторы Ап(р) (п>2), для

6 cos 2tao + cos ЗХсо).

Отсюда Л3 (р) = — (Ю — 15е Хр + 6е 2Хр-^ е ЗХр).

Полагая А, = 0,1 и р = \2л, лолучи1м Л3(12я) =0,0466+ i 6,82. От­ сюда .видно, что Л3(i 2л) лучше приближается к i 2я, чем вычис­ ленное р.анее значение Л+ i 2л).

Формула численного интегрирования, соответствующая Л3(р), имеет вид

*л+1 = 1>5хп- • 0,6хп_1 "Т 0’l*n-2 "Ь 0.6Я.ДС,п+Г

69

О некоторых разновидностях метода аппроксимации линейных операторов

■Метод, описанный в дайнам параграфе,, дает лишь один из мно­ гих вариантов расчета периодических режимов. В принципе, воз­ можен .переход к другим формам аппроксимирующих экспоненци­ альных .полиномов, обеспечивающих дальнейшее сокращение вре­ мени расчета. Ниже вкратце описаны три разновидности метода

иотмечены возникающие теоретические трудности.

1.Строится экспоненциальный полином, аппроксимирующий не

переменную р, а ср.азу всю функцию z(p) при р = i 2я 1, I—0, 1,.... т

(имеется в .виду цепь с одной нелинейностью; при наличии несколь­ ких нелинейностей для каждой функции Ziu(p) строится свой экспо­ ненциальный полином). Пусть экспоненциальный полином -имеет вид (для Т= 1)

т= 5, что, как правило, дает хорошую точность, то Л .=ур Следо­

вательно, на периоде укладывается 11 шагов и переходный про­ цесс просчитывается достаточно -быстро. Основная трудность здесь состоит в выборе такой функции А(р), которая гарантировала бы существование Г-периодического решения ур-иия (3.2). В принци­ пе, преодоление этой трудности возможно за счет введения избы­ точных слагаемых в i(3.28). Иными словами, полагаем /г>2т.

2т - f 1

2/?г+1 и этими коэффициентами следует -распорядиться так, чтобы обеспечить выполнение 2 т +1 равенств (3.29) и наличие Г-перио- дического решения ур-ния (3.2). Последнее требование будет вы­ полнено, например, в том случае, если Re Л (i щ) >0.

Таким образом, возникает задача построения функции

A (i со) = "V Акcos k ка>— i V Акsin k tao, k=0 k=0

вещественная и мнимая часть .которой п-редставляют тригономет­ рические -полиномы с одинаковыми коэффициентами -при -ссответ-

70

ствующих гармониках. При этом вещественный ■полином должен быть неотрицательным и должны выполняться условия (3.29) ').

2. Строится экспоненциальный полипом того же вида, что и в предыдущем пункте, обеспечивающий за счет введения избыточ­ ных коэффициентов выполнение условий (3.29) и наличие Т’-перио- дического решения ур-ния i(3.2), ,а также обладающий тем свой­ ством, что его нули лежат левее от мнимой оси, чем нули' функ­ ции z(p). Последнее обстоятельство обеспечивает сокращение вре­ мени переходного .процесса. Однако конкретный алгоритм отыска­ ния коэффициентов Ah, всегда приводящий к цели, пока не .раз­ работан.

3. Можно предложить метод, позволяющий вообще избежать расчета переходного процесса. Для этого в (3.28) положим

2 п=2т и найдем 2т +-1 коэффициентов Ah из условий

(3.29). Теперь подставим А(р) в ур-ние ,(3.2). iB результате по­ лучим

2т

чение j и до номеров больших, чем 2т но, в силу периодичности i'(t-), если j > 2т, то Xj= Xj_2m.

Бели .в ур-нии *(3.30) положить t = h —g ^ i(l=0, 1, ..., 2т), то

получим 2т + \ уравнений с 2т +1 неизвестными хи х2, ..., х2т+ь

(3.31)

Решая систему (3.31) каким-либо итерационным методом, мож­ но найти хи х2, ..., х2ш+ь т. е. 2т +1 точек периодического реше­ ния. Если требуется большее число точек, то полагая, например,

НЫМИ1 у i, у2, ..., у2т+\■'Решая эту систему, 'находим еще 2т+ 1 то­ чек кривой периодического 'режима и так далее ').

Основная трудность при .применении этого метода заключается в том, чтобы обеспечить существов'а'ние :и еди-нствен.тО'Сть ‘решен'пя системы нелинейных ур-ний (3.31) и сходимость соответствующе­

го итерационного процесса. В 'Принципе, это воз,можно опять-таки

* = 1

Введением избыточных слагаемых в А(р) иногда удается обес­ печить 'условие 1(3.32). Однако -алгоритм, позволяющий сделать это во всех случаях, .пока не разработан. Тем не менее излагаемый метод оказался весьма полезным для расчета .параметрических це­ пей и получения общих формул при расчете некоторых классов не­ линейных цепей. -Следующий параграф посвящен изложению ре­ зультатов, полученных в этом направлении.

3.4. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ2)

Расчет параметрических цепей

Если параметрическую цепь, т. е. линейную цепь, параметрыэлементов которой являются 'независимыми функциями времени, удается разделить па две подсхемы так, что одна подсхема содер­ жит стационарные параметры, а вторая — переменные .параметры, то уравнение цепи можно записать в .следующем виде:

В § 1.1 показано, что если .переметными 'являются только ре­ зистивные элементы, то в ур-гаии (3.33) z(p) — матрица сопротив­ лений , (проводимостей) стационарной части цепи, рассматривае­ мой'как многополюсник, 1(1)—вектор-функция токов внешних клемм этого многополюсника ('напряжений на клеммах многопо­ люсника), R(t) — матрица .переметных резистивных сопротивле­ ний '(проводимостей), u ( t ) —вектор-функция внешних воздей­ ствий.

тодов. Однако эти методы принципиально различны. Достаточно сказать, что ме­ тод точек требует, чтобы искомое приближенное решение содержало конечное число гармоник, в то время как приближенное решение, определяемое с помощью

78