Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Будем считать, что в качестве .переменных .параметров в иссле­

Этот факт устанавливается почти дословным повторением со­

ответствующих доказательств, данных в гл. .2 для .нелинейных цепей.

(Периодический режим в рассматриваемых .параметрических це­ пях лепко рассчитывается с помощью методики, изложенной на стр. 71, 72.

Для простоты вначале рассмотрим, как обычно, цепь с одним переменным резистором, так что .в >(3.33) z(p) —скалярная функ­

А(р) в ур-ние .(3.33) вместо z(p). В результате получим уравнение

риодического режима. Если найденного числа точек недостаточно, то .можно уменьшить, скажем в два р!аза, величину временного

73

интервала между точками. Для этого пошатаем /2 = /ч— ---------- ,

стоит в том, что число т берут больше того числа, которое .необ­ ходимо из условий (3.29). Иными словами, увеличивают число гар­ моник, на которых имеет место совпадение функций z(p) и А (р ). Это позволяет не только получить большее число точек решения, но ,и повысить его точность. Правда, несколько увеличивается сложность .расчета, так как (возрастает число уравнений системы. Так, .например, если при первом способе увеличение числа иско­ мых точек в два раза .приводит к решению двух систем линейных уравнений, по 2 т +1 уравнений в каждой, то .при втором способе приходится решать систему из 2(2/п+1) уравнений с 2(2 т+ 1) неизвестными.

(Погрешность решения так же, .как и в § 3.3, может быть оце­ нена либо с помощью ф-лы (3.8), либо по величине отклонения друг от друга решения у.р-ния (3.36) при т —т\ и т = т2, т2>'т\.

Оба способа оценки .погрешности не являются априорными н позволяют судить о точности приближенного решения лишь после вычисления последнего. Поэтому они не позволяют оценить зара­ нее величину т в (3.29), обеспечивающую заданную точность. Практика показывает, что в большинстве случаев при т = 3 полу­ чается достаточная для инженерных расчетов точность.

Если исследуемая цепь содержит несколько .переменных рези­ сторов, то процесс отыскания .периодического .решения отличается от изложенного лишь тем, что. каждый элемент zik(p) матрицы z(p) аппроксимируется своей функцией Aik(p) с помощью равенств ви­ да '(3.29), причем A ik(p) отыскивается в форме правой части (3.28).

положительно определенная матрица и имеют место (3.34), (3.35). 1) Если .цепь содержит п .переменных резисторов, так что z(p) —

74

2) Пусть Zih(p)— элементы 1М'ацр1ицы z(p). -Обозначим: zik(j 2nl) = riki + jxiki, l = 0, 1, 2, 3; i, k — 1, 2, . . ., n.

Составляем ih решаем системы линейных уравнений для опре­ деления коэффициентов Aih .в (3.38):

6-i

У , Aik v = I'ikО

v=0

v=0

i, k = 1, 2, . . n

3) После -подстановки в yip-ниe (3.33) вместо элементов Zik(p) мгтр1И1Цы z(p) соответствующих функций Aih(p) получаем систему

из п уравнений:

•помощью (3.40), систему из 7п линейных уравнений с 7п неизвест­ ными X|(t), x2(t), ..., х7n(t):

шает заданной величины б, то решение, найденное при т = 4, можно

- 75

считать окончательным. ,В противном случае следует положить т = 5 и повторить расчет по всем пу1нктам.

Таким образом, изложенный метод расчета параметрических цепей обладает предельной простотой, так как сводит задачу ,к ре­ шению системы линейныхалгебраических уравнений.

—0,5 cos 2nt. Требуется определить установившийся ток i(t).

Рис. 3.4. Цепь, исследуемая в при­ мере 3.4

Согласно изложенному алгоритму расчета, находим вначале сопротивление линейной части цепи при р = 0; i2n; i 4л; i 6л:

z(0) = /o = il; z(i 2л) = / i + i Xi = 0,0435—i 0,0163; z(i 4я) = / 2+ i *2=0,0122+1 0,174;

z(i 6я) = r 3+ i *3 =0,00553+i 0,325.

Решение системы (3.39) при i = l , k = 1 можно легко получить в общем виде, обозначая неизвестные в (3.39) через А о, Л ь-., Лв:

Ло-- 0,1429г0+0,2858/i+ О **1+0,2857/*2+0 **2+0,2857/*з-(-0 ■*з.*

Л1 = 0 ,1429/0+ОЛ779Г1— 0,2034*1—0,0635/2—0,21785*2—0,21574гз—0,1240*3.

Л2=0,14 2 9 /0—0,ОбЗбп—0,2786*,—0,2574/2—0,1237*2+0,1782/ 3+ 0,2233*з.

Л3=ОЛ429/о—0,2573/i--0,1239*!+0,1789/a+0,2236*2—0,06370/3—0,2785*з.

Л4=ОЛ429/0—0,0575/1+0, li239*t+ 0,1 7 18/2-+Ц2235*2—0,06350/з+0,2785*3.

Лз=0,1429/0—0,06353/1+0,2786*1—0,2574/2—0,1239*2+0,1780/з—О,2032*3.

Л6=0,1429/tf+0,1781/1+0,2234*i—0,0636/2+0,2785*2—0,'2573/з+0Л238*з.

Подставляя сюда найденные выше значения /о, /ь *ь г2, *2, / з и *з, находим численные величины Ло. Ль—, Л6, которые затем используем для решения систе­

мы ур-ний (3.37). В результате решения находим следующие 7 точек периоди­ ческого тока i(t):

76

Проверка, выполненная с помощью численного метода, изложенного в преды­ дущем параграфе, показала, что найденные значения тока отличаются от точных на величину, составляющую не более, чем 0,01 максимального значения.

Общие формулы для расчета некоторых классов параметрических цепей и особенности расчета цепей с идеальными ключами

Простота изложештого в .предыдущих подразделах метода рас­ чета позволяет иногда получить искомые решения в общем .виде. Часто для выяснения основных 3'а1коно1мерностей .периодического режима бывает достаточным положить в (3.39) пг= 1, т. е. .при­ равнять г(р) к А\(р) на нулевой и первой гармониках. Тогда не­ трудно получить общую формулу приближенного решения. Поло­ жим, что цепь содержит один переменный резистор R(t) ф;0 и г(р) —сопротивление стационарной ч.аспи цепи. Таи как т= 1, то

примем, что Л,= — и

77