Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

+ л2и( / - ^ - ) - л 2» (^ - y ) 4о+ R - з ) —

Эта формула позволяет исследовать зависимость искомой реак­ ции от закона изменения внешнего воздействия и сопротивления переменного резистора, а также от частотных свойств стационар­ ной части .цепи. Одновременно она дает удовлетворительные чис­ ленные .результаты, если разложение в ряд Фурье напряжения ис­ точника a(t) определяется в основном нулевой и первой гармо­ никами.

Бели исследуемая цепь содержит идеальные ключи, то их .мож­ но рассматривать .как переменные резисторы, сопротивление ко­ торых равно нулю .при замкнутом .ключе и равно бесконечности при разомкнутом ключе. В этом случае следует ©начале записать решение системы ур-ний (3.37) в общем виде [например, в виде отношения .двух определителей или в виде формулы, подобной (3.48)], а затем устремить в соответствующие моменты .времени R(t) к нулю или бесконечности. Пусть, например, .в цепи, режим которой описывается ф-люй :(3.48), на месте резистора R(i) вклю­ чен идеальный ключ, замкнутый в промежутки времени i = ± (04- -=-0,5); ± |(] 4-1,5); ±(24-2,5);... и разомкнутый в .остальные про­

межутки времени. Найдем i'(t), скажем, при 0 ^ 7 ^ — . В этом

Формула (3.49) значительно проще, чем общая ф-л.а (3.48), и это упрощение формул при переходе к цепям е идеальными клю­ чами позволяет, как будет .показано ниже, получить полезные ре­ зультаты при расчете .некоторых классов нелинейных цепей.

78

Общие формулы для расчета установившихся режимов некоторых классов нелинейных цепей

'Е'слм^хэрактер'ист.ика нелинейного элемента является кусочн-о- Л1Инейной, то схему замещения такого элемента можно предста­ вить .в виде цепи, состоящей из линейных элементов, источников и идеальных ключей. Хамим образом, цепь, содержащую рассмат-. рнваемый нелинейный элемент, можно было бы рносчитывать, как линейную с переменными параметрами, если бы моменты замыка­ ния и размыкания ключей были известны. Однако эти моменты обычно неизвестны и их определение .представляет одну из наи­ более трудных задач ври расчете цепи. Ее решение можно в ряде случаев существенно упростить, если для расчета цепей с ключа­ ми воспользоваться 'простыми приближенными -формулами, о ко­ торых говорилось в предыдущем подризделе. Ниже этим способом анализируются некоторые цепи, содержащие нелинейные резисто­ ры с характерными кусочно-линейными вольтамперными характе­ ристиками.

Цепи с идеальным вентилем

На рис. 3.5а изображена цепь, содержащая идеальный вентиль. Вольт.ампериан характеристика идеального вентиля приведена на рис. 3.56.

С помощью теоремы об эквивалентном генераторе цепь рис. 3.5а -приводится к цепи рис. 3.5е. Предположим, -что u(t) = Umsin 2л/ и

ufi)

Рис. 3.5. Цепь, содержащая вентиль с идеальной характеристикой, и ее преобразование по теореме об эквивалентном генераторе

требуется найти периодический ток i(t). Будем также предпола­ гать, что в течение периода вентиль лишь -один раз .переходит из запертого состояния .в открытое. Прежде чем излагать суть пред­ лагаемой методики, сформулируем и докажем -одну лемму, кото­ рая, вероятно-, может оказаться полезной и во многих других за­ дачах.

Л е м м а 3.1.

Е-сли в цепи -рис. 3.5а u(t) —источник синусоидального напря­ жения с частотой он, то форма периодического тока i(t) ,не зави­ сит от величины z(icoi), где с-(iсо) —сопротивление линейной ч.асти цепи рис. 3,5а относительно точек .присоединения вентиля при за­ короченном источнике u(t). Изменение величины z>(icoi) -влияет лишь на амплитуду тока i(t) и его сдвиг относительно u>(t). .

79

Доказательство.

Так мак сопротивление г (1ш) .в условии леммы есть оопротнв-- лешие линейного двухполюсника в |цеши рис. 3.5s, то доказатель­ ство достаточно дать для цепи pine. 3.5s. Прежде всего,'видно, что если вместо u\ (i) включить источник ku\ (t—т), где Jz>0 и т —.про­ извольные числа, то ток вместо i(t) станет равным hi(t—т). Таким

значение. Если считать, что ток i(t) при этом не .'изменился, то на­ пряжение на линейном двухполюс-нике изменилось «а величину Auz(X) = fAnzSini(coi£+-a), причем комплексная амплитуда Auz(t)

равна A-z(icoi)./,ni, где / т , —комплексная .амплитуда первой гармо­ ники тока i(t). Для сохранения 'баланса напряжений в цепи при­ бавим к напряжению источника u.\(t) напряжение Auz(t). В ре­ зультате .получаем цепь, в которой под действием синусоидального напряжения ui(t) -rAuz(t) с частотой соi протекает ток i(t). Напря­ жение ii\(t)+Auz(i) отличается от исходного напряжения u\(t) лишь амплитудой и сдвигом по фазе, т. е.

вместо тока i(t) в цепи потечет ток k1_ i^t+%), который не отлича­

ется по форме от i(t). Таким образом, изменение сопротивления двухполюсника на основной гармонике, действительно, не меняет форму тока, и лемма доказана.

Перейдем к изложению существа предлагаемой методики рас­ чета цепей с идеальным вентилем. Обычно для практических целей оказывается достаточным иметь следующую •информацию: среднее значение тока через вентиль / ср; .амплитуда и фаза первой гармо­ ники тока /„и; действующее значение тока /. Эти .параметры тока мы и будем определять в первую очередь.

Так как .вентиль лишь 'один раз :в течение периода меняет свое состояние, то его -мшено заменить идеальным ключом, который в' течение -некоторого интервала времени % замкнут, а всю осталь­ ную часть периода разомкнут. Неизвестными являются момент начала замыкания .ключа и время т.

Согласно методике, .изложенной ;в -предыдущих .подразделах данного параграфа, вначале -будем считать, -что- на месте вентиля включен переменный резистор iR\(t), сопротивление которого в дальнейшем устремим в соответствующие моменты времени ас ну­ лю или бесконечности. Потребуем, чтобы функции А(р) и z(p) совпадали -на нулевой и второй гармониках. В силу леммы 3.1, совпадения этих функций на первой гармонике требовать не обя­ зательно. Таким образом, функцию А(р) можно выбрать .в виде (3.43). Коэффициенты Л0, А, и А 2 находятся из уравнений

Aq-ф А\ -ф Аг — 2 (0) — г0.

80

тока i(<t), совпадающему с (3.43), только значения Аа, А\ и А2 сле­ дует подставлять из (3.50), а не из (3.44) и функция n(t) в (3.48) должна быть заменена на u\(\t). Формула '(3.48) позволяет опре­ делить .момент начала отпирании вентиля по отношению к прило­ женному напряжению и время нахождения вентиля ;в проводящем

•состоянии г. Для этого будем .считать, что вентиль начинает про­ водить при. t —0 и рассмотрим 1(3.48) при O^tf^ т . Очевидно, что

•в этом интервале времени мы должны принять R>(t) =0. Что ка­

ющие в азиаты :

в) 4 - т ) “ “ - * ( ' ,- т ) - о

г) А _ "г)= оо;

.Указанные варианты дают следующие значения тока, получае­ мые из ,(3.48):

(3.52)

81