Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

1

2

2

рна.нт а, т. е. R:(0+----- ) =0 и R (0+------ ) =0 то, очевидно, что

—.

3

3

3

Вариант б вообще невозможен,

так как получается, что R(0~) = оо

1

2

(ибо момент /=0+ —'начало горения), Р.(0+— —)= 0 и ^(0+--- —)=

— оо. Таким образом, вентиль в течение периода, ,по крайней мере,

два

риза меняет свое состояние, что противоречит предположению

о единственной смене состояния за

период. В случае .варианта в)

2

1

1

находим, что —

—, и в случае варианта г)

— . Пусть те­

перь

t = x. Тогда из варианта а) снова следует, что

из ва-

рианта б)

3

.В'ариаит в)

невозможен по тем же причи­

нам,

что 'п вариант

б) при / = 0+.

Из варианта г)

следует, что

что т.

В самом деле,

если т<

, то это соответствует тому,

что при Ф=0 и t = x имеет место

один

и тот же вариант г), и ток

описывается выражением

г) из

(3.52). Так как uy(i) —синусоида

с частотой-2я, то ток i(t),

будучи непрерывным,

должен при t = s

и t= х—б

(е, 6>0 — достаточно малые .величины)

совпадать с по­

ложительной полуврлной синусоиды. 'Но тогда т = — и

мы .прнш-

ли к противоречию. Точно так же доказывается,

что

2

— . Зна-

3

чение х = — .возможно для двух вариантов в) и

г ) — начала го­

В

результате ер иходим к окончательному

выводу: начало

го­

рения

всегда соответствует варианту в), а

конец —,ваоиангу

б).

При этом

(3-53)

Таким образом, 'Вблизи 1 = 0 i('CnipaiBа от нуля)

выражение для тока

определяется формулой в)

в i(3.52), .а вблизи t= x

(слева от точки

I—т ) — формулой б) в

(3.52). Отсюда нетрудно

.получить

значе­

ние т:

л -|- — ф2

тДз

\

(рад);

т = ----- кг----- , где ф! =

arg (А0+ 0,5Л2 — i - V

Л

2л

ф-2= arg ( д + 0,5Л -И ^

Л ) (рад).

(3.54)

Выражение для така имеет следующий вид:

/1о»1 (0 — .42«i t — —-

(3.55)

i ( t ) = ------------------i------±1

0< Ф < т —

А 1 - Л ХА,

Выражение (3.55) позволяет одновременно определить

началь­

водимости вентиля. Эта

'фаза .выбирается такой,

чтобы

правая

часть (3.55)

имела вид

/msin2n/, /т >0. Так

как вблизи точки

I = т-—/(справа

от нее)

имеет место вариант

г) в

(3.51),

то по­

лучаем

,•(/)=

3

3

(3.56)

А0

В точке t = —

и правее ее имеет .место .вариант в), поэтому

Auui {() — Aiui

*(0 =

(3.57)

Aq— zlj /12

(UmAlmi) = argD— arg

1,07В

in

—(0,59т— 0,l07)Ce~iltT .

—;=- е

Ут

(3.59)

/ = Ч л ё .

(3.60)

Ю1

П Р И М Е Р 3.5.

причем u(t) =

На рис. 3.6 изображена цепь, содержащая идеальный вентиль,

= sin2;tl,

L = 1, а величину сопротивления резистора будем менять.

Требуется оп­

ределить

среднее

значение, амплитуду и фазу первой гармоники-

периодического

L

к

С({)

тока i(t). Выбор

столь простой цепи объясняется тем,

что она легко

рассчиты­

вается методом припасовывання, и можно

сравнить

приближенные

решения с

точными.

Приведем методику расчета, например, для случая Я = 5.

присоединения

Находим сопротивление линейной цепи

относительно

точек

вентиля г ( р ) —Ъ+р, 2(0) =5=Го,- z(i 4я) = 5 -И 4 я = г 2+\Х2.

По ф-ле

(3.50) находим

Ло=5; A i = —у4г=7,27. Определяем по ф-лам

(3.54)

Pi =0,628 I(рад);

<р2= 1,356 (рад); т=0,8Ш .

жением

и первой

гармоникой тока определяется с

помощью

(3.59)

(UmIm i) =

= 39,1°. Среднее значение тока

получаем, используя выражение

(3.60)

/ о=0,05010.

Т а б л и ц а

3.3

Расчет по методике приведенной

Точный расчет

в гл. 3

R

( " т Л '' mi )

h

!ПП

( и ,пА К п )

К

град.

град.

0 ,5

0,1490

83

0,129

0,1478

89

0,1307

1

0,1360

75 ,4

0,1070

0,1345

7 1 ,2

0,1117

3 ,5

0,0903

50,7

0,0663

0,0884

49

•

0,0643

5

0,0714

39,1

0,05100

0,07231

43 ,6

0,05088

7

0,0570

33

0,0387

0,0578

34 ,3

0,0395

10

0,0447

28 ,3

0,0283

0,0440

27,1

0,0294

В таблице 3.3

приведены

результаты

расчетов

при R = 0,5;

.1; 3,5;

7 и

10 и

для сравнения — те же параметры тока, найденные

методов

припасовывання.

Данные

таблицы

подтверждают

удовлетворительную точность

предложенных

формул.

Параметры этой схемы даны в нормированных величинах, i(t) = cos at, вен­

тиль предполагается идеальным.

При

проектировании

усилителей мощности необходимо знать зависимость амп­

литуды

первой гармоники

периодического тока ii(t) от частота со. Формула (3.58)

точник тока в

источник напряжения

по теореме об

эквивалентном генераторе.

Комплексная амплитуда источника напряжения, очевидно, равна

10

1

- f i

10 со

Рассчитаем

амплитуду первой гармоники тока U(t),

например, при ш=1, а =

= 0,7 и со=0,3.

со = 1 Um = 0,995; при

со=0,7 Um= 2;

Um= 7,43.

Тогда,

при

при

со=0,3

Далее

определяем

г(р) относительно точек

присоединения

вентиля и

проводим

расчет,

действия равнялся единице. Такую нормировку в данном

случае

пришлось бы

делать заново при каждом значении со, что увеличило бы

объем

вычислений.

Вместо этого можно пользоваться ф-лами (3.50), (3.54),

(3.58), (3.59) и (3.60)

ким образом, например, в формуле (3.50)

Г2= Я е z(i 2со'), ,Vo=Jm z(i 2со'). Резуль­

таты расчета дают следующие значения

амплитуды

первой

гармоники

тока

h(t): при

со'= 1, /пи=0,1175;

при со'=0,7

In i =0,2420;

при

со'=0,3,

/ mi=0,6950.

Для оценки точности расчета ток i\(t)

был рассчитан при тех же значениях со

итерационным

методом, изложенным в предыдущем параграфе. Результаты рас-

чета приведены

211

первых

гармоник, получен-

в табл. 3.4, где Т= — г . Амплитуды

СО

ные разложением ii(t) в ряд Фурье: при со'=1

/ т t=0,1155;

при co'=0,7

/ т i =

=0,2430;

при со'=0,3 / т1 = 0,6760.

Т а б л и ц а

3.4

1

t

idt)!Um

т

со'=1

о/=0,7

со'=0 ,3

т

(l)'=1

со'—0 ,7

ш'=0 ,3

0

0

0

0

0,30

0,322

0,366

0,0175

0,05

0,0027

0

0,0284

0,35

0,318

0,262

0

0,10

0,0205

0,0290

0,219

0,40

0,221

0,0447

0

0,15

0,0613

0,109

0,350

0,45

0,0330

0

0

0,20

0,154

0,241

0,267

0,50-Н

0

0

0

0,25

0,255

0,349

0,104

‘