Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
Если от скалярных ур-ний .(4.6) и |
(4.7) |
'перейти к матричным, |
||||||||||||
то (произойдет усложнение ляшьив деталях. |
Пусть |
|
^ |
|
||||||||||
«(0 = (М 0 . МО, |
• ■ - |
ап(0)т. |
u(0 =(ui(0 , |
и*(9. • • « М 0)т. и |
||||||||||
«ДО = |
S |
C0s ( у ^ |
1+ “» ) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
£=0 |
' |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u,(0 = |
£ |
|
|
|
|
,1= |
1, 2,.../i. |
|
|
|
|
|
||
|
ft= 0 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть, далее, заданы |
AUmih |
и |
Да, |
такие, |
что |
\Umik—'tAnifcl^ |
||||||||
^ A U mih, | ап —а4к|< Д а , |
й = 0, 1, |
.... i= l, |
2, |
..., |
л. Тогда, |
по ана |
||||||||
логии с .выражением |
(4.31), получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
к> |
|
|
|
|
|
1u(f) - a |
(t) Ц< 1 |
/ |
V |
|
(A Umi0y-+ Y |
J j (A Umiky + |
(A aUtf |
. (4.33) |
||||||
|
|
f |
|
£ i |
L |
|
|
|
*=i |
' |
|
|
|
|
Здесь |
Ui— действующее значение напряжения i i i ( t ) . |
Если заданы |
||||||||||||
отклонения Uh(t) от Uh(t) во временной области: |
| U i ( t ) —щ(0 | ^ |
|||||||||||||
i(t), |
г=1, 2, .... п, то, по аналогии с (4.32), получаем |
|
||||||||||||
и (0 — и (О Н< |
/ |
|
r |
i |
i |
i dt» |
|
|
|
|
(4.34) |
|||
|
|
|
f |
|
О i= l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка нормы линейного оператора |
|
|
|
|
|
|||||||||
Для |
получения оценки величины |
второго слагаемого в правой |
||||||||||||
части (4.13), т. е. ||{z(ico)—z(m)]i.(t) ||, необходимо предполагать, что i(l) —известная функция, о чем уже говорилось выше, в §4.2.
.Пусть i(t) = (ii(t), ii(t), . . in(t))T и
h(t)= £ |
T ^co s ( ^ t + |
^ A |
q=l,2,...n. |
|
(4.35) |
||
A=e |
' |
' |
|
|
|
|
|
Обозначим |
2 (ico)—.a(ico) =Az(ico) |
и |
пусть |
Azi(ico) =i(A2ife(ia>)), |
|||
■i, k —\, |
2, |
..., n, Azih(ico) — элементы .матрицы Да(1а). Пусть да |
|||||
лее заданы оценки |
|
|
|
|
(4.36) |
||
I Aztt(ico) |
| < Дй (со); |
i , k = |
1,2, |
. . ., |
п, |
||
где Дщ(со) — известные величины. Требуемую оценку можно полу
чить, если воспользоваться |
известными свойствами нормы (1.25) |
|
и (1.26). В результате получаем |
|
|
|
П |
|
1[z(i со) — z (i со)] i(f) Н< |
у |
Azift(i со) i [ ( t ) ||2 . |
|
1=1 |
|
-106
Отсюда вытекает окончательная оценка, если воспользоваться представлением i(4.35) и неравенством (4.36)
[z (i со) — s (i со)] i (t) || < |
s v7 s Acik |
2n q\ |
P<n |
(4.37) |
||
T |
|
|||||
|
■1=1 |
<7=0 |
|
|
|
|
Здесь Iqi — действующие |
значения |
гармонических |
составляющих |
|||
тока ig: I0i='Imoi\ lqi=-^~Imqi, t= l, 2, ..., /г; q= 1, 2 ,... Для прак
тического применения оценки (4.37) требуется иметь информацию о величинах Аш , т. е. об оценках отклонения элементов мат
рицы z(ico). Однако иногда бывают заданы лишь праницы изме нений параметров элементов цепи. 'В этом случае возникает за дача оценить степень изменения элементов матрицы zi(ico) в зави симости от изменения параметров цепи. Но это есть классическая задача оценки чувствительности передаточных функций линейных цепей. Для ее решения существуют достаточно разработанные ме тоды |[Э1], |[ЗЙ], (63] и мы не будем на этом останавливаться.
В неравенство (4.15) входит норма оператора z(ico)—z(ico), ко торую также необходимо оценить сверху. Из неравенства (4.16)
следует, что оператор zi(ico)—z(Lco) должен быть, во всяком слу чае, ограниченным. Способ оценки нормы ограниченного операто ра указан в § 1.2, откуда, например, для случая, когда z(ico) и
z(ico) — скалярные функции,следует
|| z (i со)— T(i со) || < Sup Re [z (i со) — z (i со)]. |
(4.38) |
(О |
|
Оценка нормы отклонения нелинейных функций
Для оценки величины Цср('^ i ) —<p(i, 7)||, входящей в правые части (4.13) и (4.15), необходимо потребовать, чтобы при каждом фиксированном t была задана е-область, внутри которой может из
меняться вектор-функция ср(ц t). Например, на рис. 4.1 заштрихо
вана область, внутри |
которой |
возможно |
изменение скалярной |
функции Cp’(i) . |
|
|
|
В общем случае, если: |
|
|
|
ф(Т, о = (фх(ТГ t), фа(7 |
t), . . ., |
фя (г, 0)т. |
|
ф (Х 0 = (ф1^ . 0 . фа(i, |
t), : . ., ф„(ц t)y, |
|
|
то должны быть заданы неравенства |
|
||
I Фа(Г 0 — Фа(^> 0 I < |
еА, k = 1, 2, . . ., п. |
(4.39) |
|
|Прн этом самый простой вид оценки имеет место в том случае, если предполагать, что ва можно выбрать не зависящим от i и t.
Для |
частного случая, приведенного на рис. 4.1, это, очевидно, |
5* |
107 |
означает, что ширина по вертикали заштрихованной области ‘равномерно ограничена по i.
'Пользуясь данным выше 'определе нием нормы и скалярного произведе
|
ния, получаем, с учетом '(4.39), |
|
Рис. 4.1. Область возможного изменения функ |
|
ции cp (i) |
II Ф («. О — ф(t, t) || = |
1Фа(7,0 — ф*(», W d t < |
|
(4.40) |
Оценки величин, входящих в правые части (4.28) и (4.29)
Оценим правых частей i(4.28) « (4.29) во многом аналогичны соответствующим оценкам для (4.13) и (4.15). Разница здесь свя зана лишь с различным определением нормы и скалярного произ
ведения. Оценка величины а дана в § 1.2. Для оценки \\u(t)—Z(t)\\,
положим \uu(t)—Uk(t)\^8k(t), k — \, 2, ..., п, 6h(t) —-известные величины. Тогда в соответствии с (4.26)
II и (0— |
и (0 II < ] / |
£ |
[б* (01*. |
(4.41) |
|
|
*=1 |
|
|
Оценки |
выражений |
\\(R—R)i(t)\\ и IK/?—R)i(t)\\ |
совершенно ана- |
|
лопичны. |
|
|
|
|
Пусть R=-(Rih) |
и |
R=i(iRik)—матрицы^ пХп |
с элементами |
|
Rih и Kih соответственно. |
Обозначим Rik—Rik = Sik, i, k = \, |
2, .... n. |
|
Оценки Sat предполагаются известными: |
|
||
I |
I < А». |
• |
(4.42) |
Тогда .при 'фиксированном i |
|
||
н(r - r ) по || = l / l IS w o 1< ] / s [s АДюТ- (4-43)
4=1 L<7=1 |
J |
4=1 L?=l |
|
\\{ R - R )i(t) II |
w o T |
< i / ££ л 9Л (0 |
(4.44) |
|
J |
4=1 L<7=1 |
|
Для оценки ||Д—Д|| не всегда удобно .пользоваться выраже нием (4.27), так как иногда бывает задана не -сама матрица R, а лишь верхние и нижние границы значений ее элементов. В этом случае можно выбрать другую норму матрицы, дающую более
108
удобную, хотя и несколько более грубую оценку: есди А = (ащ) матрица п Xп, то
(4.45)
i= I 4=1
Эта HiOipMa согласована с изведенной .выше сферической нормой вектора' [58].
'На основе (4.45), о учетом (4.42), получаем
|
|
/ |
п |
п |
(4.46) |
II Я — Я II |
< |
у |
у А?, |
||
1=1 |
4=1 |
|
|||
П Р И М Е Р |
4.1 |
|
|
|
|
Проиллюстрируем технику использования неравенств типа (4.13) и (4.14) на |
|||||
примере цепи, |
изображенной на рис. 4.2, где u(t) = u (t+ T ). Будем |
считать ли |
|||
нейную часть цепи четырехполюсником с первичными клеммами 1.1' и вторичны ми — 2.2'.
Тогда матрица z(p) |
четырехполюсника имеет вид |
u(t) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(p ) = |
Ri + PC |
|
|
Ri |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ri |
|
R i-\-Ri-\-pL _ |
|
|
|
|
|
||||
Для использования неравенства ',(4.13) необходимо, |
|
|
|||||||||||
прежде |
всего, оценить |
величину а. Это можно сделать |
|
|
|||||||||
с помощью |
методики, |
приведенной в |
§ 1.2 , |
откуда |
по |
|
|
||||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б = Inf 'Gift; |
i= ll, 2; |
&=0, |
1, ... |
|
|
|
|
||||
|
|
i = l . |
2; 4=0, |
1 ,... |
|
|
|
|
|
|
|||
•6ik = e Re |
z u |
( |
2п k\ |
|
2Ri; |
|
|
|
|
|
|
||
11 -y~ J = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
_2nk\ |
/. |
2я k |
|
|
|
|
|
|
|
|
2it |
k |
|
zi2 I ’ |
|
221 (* |
~T~ |
|
Puc. 4.2. Цепь, рас |
|
-624= 2 Re |
Z22 |
f i |
|
|
|
|
2я k |
|
|
сматриваемая |
в |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2Re zu |
|
|
примере 4.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(R1)2 |
2R2‘> 6 = 2 min(Ri, Rz) |
|
|
|
|
||||
= 2 R t+ 2 Ri— —— — = |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2Ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, a^ 2m in (7?i, Rz). |
|
|
|
|
|
||||||||
Предположим теперь, что параметры реактивных |
элементов цепи |
измени |
|||||||||||
лись на |
величины АС и AL соответственно. Пусть ряды Фурье для токов в цепи |
||||||||||||
с измененными параметрами имеют следующий вид: |
|
|
|
||||||||||
.—• |
хг: -—■ |
/2л k |
— |
, |
|
|
|
|
|
||||
* 1 (0 = |
\ I i m |
k |
cos |
|
|
/ + a l k |
|
|
|
|
|
||
|
4=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н (0 = |
|
^_/ |
|
/2Я k |
--- |
|
|
|
|
|
|
||
|
Iimk C0S ( ~Y~ t + “24 |
|
|
|
|
|
|
||||||
4= 0 |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
109