Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Г ЛАВА

• ПЯТАЯ

Преобразования нелинейных цепей"

5.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Введение

Результаты .последних трех глав относились, главным образом, к .исследованию цепей, содержащих в своей нелинейной части ре­ зистивные двухполюсники и .многополюсники. В то же время в современной .радиотехнике, электронике и электросвязи находят широкое .применение устройства, содержащие нелинейные реак­ тивные элементы. Кроме того, к схемам, содержащим такие нели­ нейности, приводит учет паразитных .параметров нелинейных при­ боров, например, учет нелинейной емкости туннельных диодов, транзисторов, индуктивностей формирующих щелей мощных им­ пульсных модуляторов и т. д. Возникает вопрос, можно ли при­ менять к таким цепям полученные выше результаты? Очевидно, что это оказалось бы возможным, если бы уравнения, описываю­ щие цепи с нелинейными реактивными элементами, удалось пре­ образовать таким образом, чтобы они имели тот же вид, что и рассматриваемые ,в гл. 2—4 уравнения цепей с нелинейными ре­ зисторами. Подобного рода .преобразования и являются основным объектом рассмотрения в данной главе. Как 'показано ниже, такие преобразования, кроме расширения области применения результа­ тов гл. 2—4, обладают еще рядом других достоинств.

Определение ^-преобразования

■Рассмотрим две цепи, каждая из которых содержит по т не­ зависимых источников напряжения и тока. Обозначим эти источ­

что в первой и второй цепях «ас интересует одно и то же число реакций п. Этими реакциями могут быть токи, напряжения, заря­ ды, потокосцепления и т. д. Обозначим реакции в первой и вто­

111

О п р е д е л е н и е 5.1.

Будем говорить, что одна из цепей .получена из другой с по­ мощью ^-преобразования, если уравнения одной цепи .можно, с точностью до обозначений, свести к уравнениям другой цепи после-

•применения к источникам и .выделенным реакциям одного из сле­ дующих трех преобразований:

— для источников

Рdt

/ои, k2i и k3i— константы; i= • > 2, . . . , т\

— для реакций

Из этого определения, прежде всего, следует, что £-преобразо- вание включает в себя, как частный случай, эквивалентные и ду­ альные .преобразования. Действительно, эти преобразования учте­ ны в (5.1) и (5.2), когда кц= 1, ?4j= 'l; t= 1, 2, ..., т\}= 1, 2, .. ., п.

Однако для нас наиболее важным является то обстоятельство, что ^-преобразования позволяют, как будет показано ниже, полу­ чать из уравнений цепей с нелинейными .реактивными элементами уравнения цепей с нелинейными резисторами и наоборот. Вот са­ мый простой пример. Рассмотрим цепь, содержащую .последова­ тельное соединение источника напряжения u(t), линейного рези­ стора R и нелинейной индуктивности с заданной веберамперной характеристикой \F(i). Уравнение цепи имеет вид

Поделим это уравнение формально на р и введем замену пере­

менных— u=\U.

Р

Это уравнение уже можно трактовать как уравнение цепи, содер­ жащей последовательное соединение источника напряжения U(t),

линейной емкости С= — и нелинейного резистора с вольтампер-

R

ной характеристикой Y (i). Такая цепь .получена из исходной с по-

112

определенные классы цепей с нелинейными реактивными элемен­ тами.

3.Расширение возможностей .моделирования цепей. Если свой­ ства исследуемой цепи анализируются с помощью модели, то .пас­ сивные Е-преобразования, .позволяя .строить по данному уравне­ нию различные цепи, дают возможность выбрать для модели .цепь, наиболее приемлемую с той или иной точки зрения.

4.Очевидно, что эти же соображения могут быть полезными и при синтезе цепей. Например, три .построении низкочастотной мо­ дели из двух цепей, описываемых у р-ниями (5.3) и (5.4), целесо­ образно выбрать ту, которая соответствует у.р-нию (5.4), так как EC-цепь на .низких частотах легче реализуема, чем PL-цепь.

Необходимо отметить, что в отличие от Е-преобразований вооб­ ще пассивные Е-прбобразевания, как правило, обеспечивают фи­ зическую реализуемость цепей. В самом деле, если, например, матрица z или у нелинейного многополюсника является симмет­ ричной, то условие пассивности этой матрицы является не только, необходимым, но и достаточным условием ее физической реали­ зуемости пассивными R, L, С, М элементами [32].

5.2. ТЕОРЕМЫ О ПАССИВНЫХ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

Цепи с нелинейными индуктивностями

Теорема 5.1.

Пусть дана цепь, у которой нелинейная часть содержит только нелинейные индуктивности, а матрица z линейной части обладает следующими свойствами:

а) матрица z существует и удовлетворяет 'условиям .пассив­ ности;

б) матрица Z\, получающаяся делением каждого элемента мат­ рицы z на р, также удовлетворяет условиям пассивности. Тогда существует пассивное Е-цреобразевание, с помощью которого из данной цепи может быть получена другая цепь, содержащая в своей .нелинейной части только нелинейные резистивные двухпо­ люсники.

Доказательство.

Составим уравнение рассматриваемой .цепи относительно токов, текущих через нелинейные .индуктивности:

— .вектор-'функция !пото1ко.ацеилений нелинейных индуктивностей; u(t) = (u1(t), u2(t), . . ., u„{t))\

114