Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

При этом следует только иметь в виду, что величины Л, у и а зависят от сопротивления R(t) линейного резистора и поэтому предполагается, что в (2Л2) уже выбраны фиксированные зна­ чения Л, у и а, соответствующие наибольшей правой части (2Л2).

Если 2k T ^ . t ^ . (2k+ 1) 7 (£ = 0, 1,...) то, в силу леммы 1,

Отсюда

IElc(2kT) < 4Wlc [(2k — 2) 7] А у (7) e^ 7 4- a,TA у (7) e~aT.

Выберем T настолько большим, чтобы выполнялись неравенства

WLC(2kT) <iR, где Я не зависит от TFi,c(0)_. В силу леммы 1, отсюда

следует, что при любом t lim WLC(t) ^ R , где R снова не зависит

/—►со

от начальных условий.

Совершенно аналогично доказывается диссипативность по от­ ношению к энергии в реактивных элементах и для третьей цепи с источником u3(t). Тем самым обе эти цепи диссипативны и по от­ ношению к напряжениям на емкостях и токам в индуктивностях. Но так как в исходной цепи с источником u\(t) напряжения и токи представляют собой суммы соответствующих напряжений и токов второй и третьей цепей, то исходная цепь также диссипативна по отношению к напряжению на емкостях и токам в индуктивностях и утверждение первой теоремы доказано.

Доказательство утверждения 2 теоремы

В любой момент времени t j < t < t j+l цепь с источником ui(t) можно рассматривать как линейную с постоянными параметрами. Ток i(t) в этой цепи складывается из реакции ii(t) цепи на нену­ левые условия при t=tj и реакции h(i) на напряжение источника

•Щ(0- Первое слагаемое при достаточно большом / не зависит от WLC(0) в силу того, что запасы энергии во всех реактивных эле-

ЗИ

ментах при достаточно большом t ограничены числом, не завися­ щим от W'.lc(O). Второе слагаемое в операторной форме равно

h{p) = U1(p) — —■- ■ ; R = R(()> 0 при t j < t < t

z (р) R

Отсюда

i

U(t) — J iii(t — x) h (т) о! т; h (т)— импульсная характеристика цепи,

о

Так как все полюса функции---- — лежат строго в левой полупло-

z(p)+R

скости, то интеграл в (2.17) ограничен. Теорема полностью дока­ зана.

Рассмотрим теперь общий случай, когда к линейному многопо­ люснику, описываемому матрицей z(p), присоединены нелинейные резистивные многополюсники.

Теорема 2.2.

Пусть в ур-нии (2.1):

1) z(p) — матрица пХп сопротивлений пассивного линейного многополюсника, содержащего элементы R, L, С и зависимые источ­ ники, причем матрица z(ico) + zT(—ico) — строго положительно определенная при всех со, включая бесконечную точку.

2)Вектор-функция ср(7) может быть представлена в виде

ф(0 = R (0 + v (О,

гдeR(i) — вектор-функция, описывающая вольтамперную характе­ ристику системы пассивных кусочно-линейных резистивных много­ полюсников (см. § 1.3);

4) Линейный многополюсник, описываемый матрицей z(p), об­ ладает тем свойством, что при размыкании (закорачивании) всех его внешних клемм сопротивление (проводимость) полученной це­ пи относительно точек присоединения (обрыва) ветви, содержащей любую из емкостей (индуктивностей), не имеет полюсов на мни­ мой оси.

Тогда 1) Полная энергия, накопленная во всех емкостях и индуктив­

ностях цепи, удовлетворяет неравенству lim W(t)<zWo, где Wo —

/-*■оо

константа, не зависящая ни от начальных условий при t = t o , ни от /0. ___

2) limlliCO 11<7о, где /0 — константа, также не зависящая ни От to, ни от начальных условий.

32

Как уже отмечалось выше, доказательство этой теоремы отли­ чается от доказательства теоремы 2.1 лишь усложнением в деталях и поэтому здесь не приводится.

ПРИМЕР 2.1

1) На рис. 2.3 изображена цепь, которая не является диссипативной по от ношению к энергии, накопленной в реактивных элементах, так как в последова­ тельно включенных колебательных контурах могут иметь место незатухающие

LtC, L2Cz

синусоидальные колебания с произвольной амплитудой, находящиеся в проти­

удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2, кроме условия вещественной части, сформулированного в п. 1 теоремы. В данном случае, так как матрица z(p) сим­ метрична, это условие сводится к требованию, чтобы матрица, составленная из вещественных частей элементов матрицы z(ico), была строго положительно оп­ ределенной. Нетрудно проверить, что это условие не выполняется при и-э-оо, где указанная матрица становится положительно полуопределенной. Однако, как следует из доказательства теоремы 2.1, требование строгой полг .сительностн указанной матрицы необходимо лишь в том случае, если ломаная л дня, аппрок­ симирующая вольтамперную характеристику нелинейного элемента, имеет гори-

зонтальные или вертикальные участки. Так как в нашем случае таких участков нет, то заключаем, что цепь, изображенная на рис. 2.5, является диссипативнои.

На рис. 2.6а приведена цепь, содержащая транзисторы, работающие в нели­ нейном режиме, а на рис. 2.66 — та же цепь с заменой транзисторов нелинейной моделью Эберса—Молла [53].

Рис. 2.6. Цепь с нелинейными транзисторами и ее экви­ валентная схема

Для исследования диссипативности такой цепи можно отнести зависимые ис­ точники к линейной части цепи и рассматривать всю цепь состоящей из диодов и линейного многополюсника, отмеченного иа рис. 2.66 пунктирным прямоугольни­ ком. Так как диоды имеют возрастающие характеристики, то для анализа дис­ сипативности достаточно проверить, удовлетворяет ли матрица z(p) указанного линейного многополюсника условиям теоремы 2.2.

Оценка амплитуды колебаний в диссипативных цепях

Доказательство теоремы 2.1 носит конструктивный характер и позволяет получить конкретные оценки для амплитуды энергии, на­ пряжений на емкостях и токов в индуктивностях исследуемой це­ пи. Конечно, эти оценки могут в несколько раз отличаться от истин­ ных значений, однако часто бывает важным получить предвари­ тельную информацию хотя бы о порядке величин. Например, при

34

fy;

Рис. 2.5. Иллюстрация к определению входных и передаточных функций в цепи рис. 2.7

Теорема 2.3.

Пусть для цепи, изображенной на рис. 2.7, имеют место следую­ щие условия:

1) Полюса zCj(p) при Rj= оо и полюса Уы(р) при Rj=Q лежат

где |v(7) | ^ U i , Ui не зависит от i, a R(i) — кусочно-линейная, мо­ нотонно возрастающая, непрерывная функция с конечным числом п линейных звеньев, описываемых выражением