ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
18 |
ГЛ. I. ПРРГРЕССИИ |
мы можем сказать, что сумма интегралов всех членов бесконечной геометрической прогрессии (а точнее, пре дел сумм интегралов первых ее членов) равна интегралу от ее суммы. Разумеется, для того чтобы вся эта фраза имела смысл, необходимо, чтобы прогрессия во всей области интегрирования была равномерно сходящейся.
Подчеркнем, что это утверждение не является три виальным следствием того, что «сумма интегралов от функций равна интегралу от их суммы», а было полу чено в результате определенных выкладок и ссылок на конкретные факты математического анализа.
§ 6. Почленное дифференцирование прогрессий
Снова напишем тождество (1.14)
1+х+я* |
+ ... + х*-1=т-1 |
-^— |
|
1 1 |
' |
1-х |
1-х |
и на этот раз продифференцируем обе его части:
Полагая в этом тождестве п - >оо, мы получаем
lim (\ + 2х+... + (п-\)х'1-*) |
= |
п-»оо |
|
'i^'-ihi^j^l-j^^jr- |
( U 6 ) |
Слева под знаком предела стоит сумма, зависящая от п. При любом О ^ Е Ж 1 она с ростом п возрастает и при том остается ограниченной сверху числом ^ _ ^ а . Сле довательно, эта сумма имеет предел
lim (1 + 2х + .•• + ( « - 1)хп-2) =
= 1 + 2х+ .... + ( п - 1 ) * « - а + ...
Для вычисления первого из пределов в правой час ти (1.16) рассмотрим предел
lim zx*-\
г—>от
§ 6. ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПРОГРЕССИИ
где z может принимать любые вещественные значения. Этот предел представляет собой неопределенность. Раскрывая ее по правилу Лопиталя (дифференцирова нием по z), мы получаем
lim zx^= lim р § й г = Hm |
= l i m z ^ = 0. |
Отсюда следует, что для любой неограниченно воз растающей последовательности значений z последова тельность значений функции zxf'1 стремится к нулю. В частности, это имеет место и в том случае, когда z принимает целочисленные значения п—1, 2, ... Таким образом,
lim / u n _ 1 = 0.
f l - V C O
Наконец, второй предел в (1.16) справа, очевидно,
также равен |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая |
все сказанное, |
мы можем переписать |
||||||||
равенство |
(1.16) |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
l + |
2x + |
... + |
( r t - l ) x " - 2 |
+ |
. . . = T |
Î 4 ^ , |
(1.17) |
|||
или, иначе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 _і_ ^ _ і - — л- |
I |
dx |
I |
= d |
1 |
|
||||
dx ~i~ dx |
dx |
' •"" г |
|
|
dxl—x' |
|||||
Таким |
образом, |
сумма |
производных |
от членов гео |
||||||
метрической |
прогрессии |
равна |
производной |
от суммы |
||||||
прогрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и |
в предыдущем |
параграфе, |
установленный |
|||||||
факт потребовал некоторых специальных рассуждений. Формулы (1.15) и (1.17) показывают, что сущест
вуют функции, |
вид которых существенно отличается |
от многочлена, |
но которые можно представить в виде |
«бесконечной суммы» степеней переменной, взятых с теми или иными коэффициентами.
В главе 6 будет показано, что такому представле нию поддаются весьма разнообразные функции.
20 |
ГЛ. |
1. ПРОГРЕССИИ |
|
|
§ 7. Прогрессии с комплексными членами |
||||
Перепишем |
тождество (1.14) в |
третий |
раз в не |
|
сколько видоизмененной форме: |
' |
|
||
г _ г 2+ г » _ , . .+ |
( _ 1 ) я +іzn = * - |
(-W |
| (1.18) |
|
считая, что г есть комплексное число, по модулю рав
ное единице |
и отличное |
от — 1 , т. е. |
|
2 = |
coscp + /sincp |
( — я ; < ф < ; л . ) . |
(1.19) |
Из равенства (1.18) двух комплексных чисел сле дует равенство их вещественных частей. Но согласно формуле Муавра при любом k—i, 2, ...
zk = cos fop + i sin k<p,
и поэтому левая часть (1.18) есть
(cos ф -f- i sin ф) — (cos 2ф + / sin 2ф) + . . . +
+ (—1)"+1 (COS Пф + / Sin Пф)..
Следовательно, ее вещественная часть равна |
|
cos ф — cos 2ф + . . . + (— 1)л + 1 cos жр. |
(1.20) |
Найдем теперь вещественную часть правой части (1.18). Подставим для этого в правую часть (1.18) вместо г его выражение (1.19):
cos ф + t a n ф — (— 1)" (cos (п + 1 ) ф + t sin (л +1) ф) І + О К ф + І З І П ф
Умножив числитель и знаменатель этой дроби, на выра жение, сопряженное знаменателю, мы получим
(cos ф + t |
sin ф) (1-j-cos ф —t |
sin ф) |
(1 + c o s ф + t |
sin ф) (1 + c o s ф — t |
sin ф) |
|
(—1)" (cos (га+1) ф + і sin ( n + 1 ) ф) (1 + cos ф — i sin ф) |
|
~ |
(1 + c o s ф + t |
sin ф) (] + C O S ф — i sin ф) |
Вещественная часть числителя этой разности равна
cos ф + cos2 ф + sin2 ф — ( — 1)" (cos (п + 1) ф +
+ cos (п + 1) ф cos ф + sin (п + 1) ф sin ф),
§ 7. ПРОГРЕССИИ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ |
21 |
или (последние два слагаемых в скобках представляют собой косинус разности)
1 + COS ф — (— 1)" (COS (п + 1) ф + COS Лф), т. е., преобразуя сумму косинусов,
1 + cos ф — (— 1)" 2 cos --"^"1 ф cos -|-.
Знаменатель дроби стал вещественным; он равен теперь 2 + 2 cos ф.
Следовательно, вещественная часть дроби равна
|
cos —j— |
ф cos f |
|
cos |
— |
ф |
|
||
_ L _ ( _ l ) n |
i |
|
£_ = 1 |
—(—I)" |
|
- |
|
|
|
2 |
' |
|
І + |
соБф |
2 K |
' |
„ |
ф |
• |
|
|
|
|
|
|
2 |
cos |
|
|
Приравнивая это (1.20), мы получаем |
|
|
|
|
|||||
cos ф — cos 2ф + . . . |
-f (— 1)л + 1 COS Лф = |
|
2 n + l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
c o s — ф |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
|
|
Проинтегрируем |
полученное |
тождество |
по |
ф |
от |
||||
нуля |
до некоторого |
t, |
0 < / < я : |
|
|
|
|
|
|
t |
I |
|
|
|
t |
|
|
|
|
^ cos ф d(p — ^ cos 2ф d(p -+-...+ ( — 1) п + 1 |
\ cos лф dq> = |
|
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
о |
|
2 я + 1 |
|
|
|
|
|
|
* |
|
t |
|
||
|
|
|
|
С 1 |
|
С COS—я^—ф |
|
||
|
|
|
|
= Д | Л р - ( - 1 ) « Ѵ |
1 _ г і ф , |
||||
|
|
|
|
Ï |
|
о 2cos-| |
|
|
|
или, |
вычисляя интегралы (кроме |
последнего), |
|
|
|
||||
sin/ |
— j sin2/ + . . . |
+ - — ^ — s i n n £ = _ |
|
|
|
|
|||
,2 « + 1
22 |
ГЛ. I. ПРОГРЕССИИ |
Возьмем оставшийся интеграл по частям, полагая
|
|
и = —1—, |
dv— cos 2я Г*~1 фгіф. |
|
||
|
|
cos Ф |
|
|
|
|
Это дает нам |
|
|
|
|
||
, |
2п+1 |
|
|
|
|
|
' cos—k— ф |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 cos Ф |
|
|
|
|
|
|
. |
2 л + 1 |
, |
|
2 n + l |
|
|
sm — i j — |
ц> ' |
1 |
|
|
|
|
2n+l |
Ф |
|
2 и + 1 2H |
cos-1 -^- |
|
|
|
C 0 S T |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
2 |
Йф |
|
2w+ 1 |
|
||||
|
|
cos2 -2. |
|
|||
|
|
|
c o s T |
|
||
|
|
|
|
|
||
Но |
первое |
слагаемое |
в скобках |
ограничено ^ибо |
t<in |
|
и поэтому c o s y > o j . Кроме того, учитывая, что cos |
убывает и принимает поэтому наименьшее свое значе ние при ф = £,
. 2 л + 1 |
2 я + 1 |
|
sm |
Ф sm • |
|
|
-dq> |
|
|
cosa-2- |
|
|
|
dt: |
|
COS*-g- о |
C O S 2 y |
Следовательно, и второе слагаемое в скобках ограни чено.
Таким образом, интеграл в формуле (1.21) с ростом п стремится к нулю:
t |
2 л - f ] |
'COS — — ф
lim \ |
ф -гіф = 0. |
2 cos Y