ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
§ Б. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ
взять коэффициенты этого разложения:
т. |
arm |
2 |
f |
, . . пп , |
dx, |
Dn |
— |
= -j |
^ |
ф (х) sm — X |
|
|
|
|
о |
|
|
откуда
о
Применение рассмотренного метода Фурье оказы вается оправданным, если получающийся для функции и ряд можно дважды почленно дифференцировать по каждой из переменных х и t. Поэтому, вообще говоря, после получения ряда такого рода проверку следует произво дить. Однако в конкретном случае уравнения колебаний струны оказывается, что ряд (10.18). дает нужное реше ние даже в тех случаях, когда он и не поддается ука занному дифференцированию. В этом проявляется до вольно частое в математике обстоятельство, состоящее в том, что формальные выкладки могут оказаться вер ными, даже если они и не вполне корректны. Разумеется, это замечание не может оправдывать беззаботного диффе ренцирования рядов без последующей проверки закон ности этих действий.
V
П р и м е р . |
Решим |
уравнение |
колебаний |
струны |
|
|
|
д Р ~ а |
дх* |
|
|
с неподвижными |
концами |
|
|
|
|
|
« ( 0, |
0•=«(*, 0 = 0 |
|
||
при начальных |
условиях |
|
|
|
|
|
и (X, 0) =/(*) = sin3 ж, |
(10.19) |
|||
|
^ |
I |
= < р ( * ) = 0 . |
(10.20) |
|
/ = о Согласно сказанному в начале этого параграфа, (формула (10.18))
со |
. пп |
/„ |
arm |
. ann \ |
VI. |
||||
"(*> 0 = 2J |
sm-j |
x[Cncos-j-t+Dnsm-^- |
t), |
|
Л = 1
190 |
ГЛ. 10. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ |
|
|
|
||||||||||
где С„ — коэффициенты u разложении |
функций / (х) в ряд |
Фурье |
||||||||||||
по синусам, |
|
a |
D„ — коэффициенты |
в |
разложении в |
ряд |
Фурье |
|||||||
по синусам функции |
q> (х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нетрудно |
убедиться в том, |
что |
разложением |
в ряд |
по |
сину |
||||||||
сам в данном |
случае |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f (х) = sin3 |
х = |
3 |
|
|
1 |
sin ЗА;, |
|
|
|
|
|
|
|
|
-г sin X—j |
|
|
|
|
|
||||||
так что Ci = |
-4, |
С3 — — - у , |
а остальные |
коэффициенты |
С„ |
обра |
||||||||
щаются в нуль. |
Из |
(10.20) |
видно, |
что коэффициенты |
D„ разло |
|||||||||
жения должны быть равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, |
в данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, |
|
. |
3 |
. кх |
ал . |
|
1 . |
Зпх |
Зал . |
|
|
|
||
и(х, |
|
і) = |
sin - у - COS - у - t — |
sin |
— j — C O S - j - |
t. |
|
|
||||||
Полученный ряд является конечной суммой, и потому все вопросы, связанные с его сходимостью и почленным дифферен цированием, решаются тривиальным образом.
Г Л А В А 11
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Представление фупкций интегралом Фурье
Представление функции / (х) в сегменте [— /, /] рядом Фурье
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
т = т + 2 ( f l « c o s T * + 6 * s i n T * ) |
< 1 U > |
||||||
можно |
истолковать |
следующим |
образом. Если |
функция |
||||
/ (х) в |
сегменте [— |
/] является |
«достаточно |
хорошей» |
||||
(именно, если она в этом промежутке удовлетворяет |
||||||||
условиям Дирихле), то для |
того, |
чтобы ее в |
этом |
сег |
||||
менте полностью описать, достаточно указать некоторый, |
||||||||
вполне определенный набор ее характеристик, коэф |
||||||||
фициентов |
Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
« 0 = } \ |
fit) |
dt, |
|
|
|
|
|
|
—I |
|
|
|
|
|
e „ = j |
^ fWcosOptdt |
( n = l , 2,...), |
(11.2 |
|||||
|
|
— / |
|
|
|
|
|
|
6 » = 4 |
J f (t) sin ftdt |
|
( n = l , 2 , . . . ) ' . |
|
|
|||
(Мы сейчас |
намеренно допускаем |
некоторую |
грубость |
|||||
в изложении и не |
касаемся |
того |
факта, что |
описание |
||||
192 |
|
ГЛ. |
11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
|
|
||
функции ее рядом Фурье в точках |
разрыва может и не |
||||||
оказаться |
исчерпывающим.) |
|
|
|
|||
Таким |
образом, |
коэффициенты |
Фурье |
несут в себе |
|||
достаточно |
информации |
о поведении функции в |
соот |
||||
ветствующем |
конечном |
сегменте, |
сколь |
бы велик он |
|||
ни был. |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
Частоты |
гармоник |
ряда Фурье |
(11.1) |
функции |
|||
на сегменте |
длины |
21 составляют |
последовательность |
||||
которая является арифметической прогрессией с раз ностью у .
Заметим, что при увеличении числа /, т. е. при уве личении длищл сегмента разложения функции, разности между частотами соседних гармоник уменьшаются, т. е. гармоники начинают идти все более густо.
Положение дел резко изменяется, если сегмент раз
ложения |
функции, |
неограниченно расширяясь |
в |
обе |
стороны, |
охватывает |
всю вещественную прямую |
и прев- |
|
. раздается |
в бесконечный промежуток (— со, + |
оо). |
||
В этом случае естественно ожидать, что разность между
частотами |
соседних гармоник будет убывать до нуля, |
|
т. е. что |
последовательность гармоник |
из дискретной, |
состоящей |
из отдельных изолированных |
чисел, превра |
тится в непрерывное множество всех вещественных неот рицательных чисел. Естественно предположить при этом, что вместо ряда Фурье нам придется рассматривать некоторый интеграл. Этот интеграл, к рассмотрению которого мы сейчас перейдем, называется интегралом Фурье.
Очевидно, для представимости функции интегралом Фурье в бесконечном промежутке (— со, + с о ) эта функ ция должна удовлетворять некоторым условиям, подоб ным условиям-Дирихле, а кроме того, и еще некоторым
дополнительным условиям, необходимым для избежания 12 возможных неприятностей, возникающих в связи с тем, что при неограниченном возрастании / все интегралы вида (11.2) оказываются уже несобственными и об их сходимости требуется позаботиться специально.