Файл: Бриллюэн, Л. Новый взгляд на теорию относительности.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 60

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

36 Глава 2

типичных примеров. В этом параграфе мы рассмотрим

проблему двух тел. Пусть имеются две сферы

одина­

кового очень

малого

радиуса

а с

массами

покоя М«

и Мц и з а р я д а м и Q и Q', которые

покоятся

в

некото­

рой

системе

отсчета.

Расстояние между ними

обозна­

чим

через

г0.

Пусть

Р (фиг.

2.1)

обозначает

точку,

ѳ

Мо*£~-

 

±К

Q

r0

О'

Фи г . 2.1.

вкоторой мы измеряем напряженность результирую­ щего электрического поля F, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.11)

Плотность

энергии

электрического

поля в

данном

случае описывается

формулой

 

 

 

 

#эл = — | F | 2

=

—

 

 

 

 

 

(2.12)

где Ѳ — угол

между

векторами г и г'. Формула для

плотности

массы

принимает вид

 

 

 

 

9т = -

8яс2

 

Q2

 

Q Q' соэѲ

 

(2.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этой замечательной формуле первый

член,

очевид­

но,

представляет

в к л а д в

массу

М0

первой

частицы,

а

второй — в к л а д

в

массу

Mo

второй

частицы. Но

что означает

третий

член,

содероюащий

перекрестное

произведение

 

QQ'l

 

 

 

 

 

 

Некоторые проблемы частной теории относительности

37

Чтобы внести

ясность в этот

вопрос,

рассмотрим

сначала интеграл

от третьего члена в формуле

(2.12)

и обозначим его через

Еъг:

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

£ в э = J«"B,rfT =

- ^ J (FF')dT =

 

 

 

 

- - ± № . + т К + ^ ' . ) * -

 

W

где д;, г/, z — координаты точки Р,

dx — элемент

трех­

мерного объема,

( F F ' ) — с к а л я р н о е

произведение.

Введем статический

потенциал

V

дл я

з а р я д а Q',

нормированный с помощью обычного граничного ус­

ловия ( V" =

0 на бесконечности) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ' =

- ^ .

 

 

 

(2.15)

Интегрируя

(2.14) по частям,

находим

 

 

 

£ а з

=

-

і

V

(Fx

+ Fy +

Fz)

|Гв + ^

J V

(VF) dx.

Здесь первый член равен нулю, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ѴР) =

4 я р э л ,

 

 

 

(2.16)

где

р э л

— плотность

электрического

з а р я д а

Q.

Тогда,

полагая, что а

<С г0,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Em

= V f Q = ~ -

 

 

 

(2.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

' о

 

 

 

 

Следовательно, мы имеем следующую теорему:

 

Полная

энергия

взаимодействия

во

всем

простран­

стве

есть

величина,

обычно

называемая

«потенциаль­

ной

энергией»

 

двух

зарядов

Q и Q',

покоящихся

в не­

которой

системе отсчета.

 

 

 

 

 

 

Это

т а к ж е

означает, что

полная

масса,

отвечаю­

щая третьему члену в формуле (2.12),

пропорциональ­

на потенциальной энергии двух зарядов Q и Q' и фак­

тически

распределена во всем

пространстве:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.18)

33 Глава 2

Д л я двух точечных зарядов Q и Q', покоящихся в не­ которой системе отсчета, мы можем заменить аб­ страктное математическое понятие потенциальной энергии физической моделью, в которой энергия рас­ пределена в пространстве в соответствии с распреде­ лением напряженности поля.

Далее, если мы хотим рассматривать задачу о дви­

жущихся

зарядах, мы

д о л ж н ы следовать

подобному

ж е методу

и вычислять

плотность энергии

поля обеих

взаимодействующих частиц. Члены, содержащие про­ изведение QQ', будут непосредственно представлять энергию взаимодействия при любых расстояниях и

любых скоростях. Энергия, распределенная

в про­

странстве в соответствии с распределением

напря­

женности

поля,

пропорциональна

распределенной

массе.

 

 

 

 

Рассмотрим, например, задачу о двух зарядах, ко­

гда первый

из них

Q' покоится в

некоторой

системе

отсчета, а второй движется со скоростью ѵ. Поле за­

ряда

Q' — это статическое

поле,

напряженность

ко­

торого

F' определяется по

формуле

(2.6), тогда

как

напряженность поля F движущегося з а р я д а Q описы­

вается

хорошо известными релятивистскими форму­

л а м и

(см., например, [4]).

 

 

 

 

 

Тогда в этой специальной системе отсчета

можно

вычислить

плотность

энергии взаимодействия

заря ­

дов Q

и

Q'

(члены,

с о д е р ж а щ и е

произведение

 

QQ'),

а т а к ж е

соответствующую

плотность

массы.

 

 

§ 5. Где

могла

бы быть локализована

масса,

соответствующая

потенциальной

энергии?

Рассмотрим задачу, в которой выполняются усло­

вия

(2.4)

и (2.5), и мы можем говорить о потенциаль­

ной

энергии.

 

 

 

Масса,

соответствующая потенциальной

энергии,

фактически распространена во всем пространстве как

между

з а р я д а м и

Q и

так

и вокруг них.

Однако

если

мы более

внимательно

рассмотрим

формулу^

 

Некоторые проблемы частной теории относительности

39

(2.13), то заметим, что перекрестный член

(описываю­

щий

взаимодействие)

 

 

 

 

Р - в з = 1 ^ Г е о з Ѳ

 

 

(2.19)

становится очень большим на заряженных

сфериче­

ских

поверхностях, когда г = а или /- / =

а.

Это

ука­

зывает на концентрацию массы вблизи зарядов и на значительное уменьшение плотности массы с увеличе­ нием расстояния. Эта концентрация, однако, не столь велика, как в формуле (2.8), она изменяется пропор­ ционально г - 2 , а не г - 4 . Тем не менее мы можем вве­ сти первое приближение подобно тому, как это дела­

лось в

§ 3, и

утверждать:

для

сфер

одинаковых

радиусов

а -С г0

в

первом

приближении

можно

массу,

соответствующую

потенциальной

 

энергии,

счи­

тать локализованной

на взаимодействующих

зарядах

Q и Q'

и распределенной

между

ними поровну.

Мы

перепишем соотношение (2.10) дл я полных масс сле­ дующим образом:

°

\

(2.20)

м'Й = м'0 + міл+-§£г.

J

 

' Распределение, даваемое формулой

(2.19), пол­

ностью симметрично относительно г и г', и это оправ­ дывает «равнораспределение» массы, если частицы имеют одинаковые размеры и форму.

Стоит, однако, обсудить некоторые

подробности

(фиг. 2.2). Из формулы

(2.19)

видно, что на

больших

расстояниях

плотность

массы

(и энергии)

приобре­

тает

определенный знак,

 

когда

Ѳ мало

и cos Ѳ равен

почти единице. Будет ли

на

больших

расстояниях

знак минус или плюс, зависит

от знака

произведения

QQ',

и

знак

будет таким

же,

как в формуле (2.18).

Однако

следует заметить,

что

плотность

р т , В

з в фор­

муле (2.19) равна нулю на сфере С диаметром, рав­

ным

расстоянию м е ж д у

з а р я ж е н н ы м и

частицами

Q и

.

в точках которой

мы имеем Ѳ =

л/2, cos Ѳ =

0.

40 Глава 2

Внутри сферы С плотность р,п , в з имеет противополож­ ный знак.

Так или иначе, плотность рО Т і В з может иметь оба знака, и масса, соответствующая потенциальной энер­ гии (как и сама потенциальная энергия), может быть положительной или отрицательной.

'cosS>0

I

Ф и г . 2.2.

Новые массы, вычисленные по формулам (2.20) для покоящихся частиц, д о л ж н ы быть хорошим пер­ вым приближением, если одна из частиц движется с малой скоростью ѵ, т а к что поправки будут только порядка о 2 /с 2 .

§ 6.

Случай

многих

взаимодействующих

зарядов

на

малых

расстояниях

и при малых

скоростях

Мы рассмотрели с некоторыми подробностями слу­

чай

двух

взаимодействующих электрических зарядов

Q и

Q'.

Полученные

результаты можно обобщить на

случай диполя, квадруполя или мультиполя, взаимо­ действующих с точечным электрическим зарядом .

Рассмотрим, например, жесткую покоящуюся структуру, образованную некоторым числом зарядов QV Q". • • •. Q ( n ) и взаимодействующую со свободным

Некоторые проблемы частной теории относительности

41

з а р я д ом Q. Этот случай может соответствовать, например, кристаллической решетке, в которой дви­ жется свободный электрон. Предполагается, что заря ­ ды Q', Q", Q("> имеют одинаковые радиусы а, электрически взаимодействуют между собой, и энер­ гия этого взаимодействия составляет часть полной

энергии

(и массы)

их жесткой

структуры.

Свободный

з а р я д

Q

 

(также радиусом

а)

взаимодействует с

ка­

ж д ы м

из

зарядов

Qü\

и

половина соответствующей

массы взаимодействия локализуется на Q, тогда как

вторая

половина — на

к а ж д о м

из

зарядов

Q<->>. Н а з о ­

вем U потенциальной энергией всех этих взаимодей­

ствий:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

00{І)

 

 

 

 

 

 

 

 

2f-,

 

а<г,.

(2.21)

Масса

свободного з а р я д а

Q,

взаимодействующего

со структурой, становится

равной

 

 

 

 

 

 

MQ = M0

+

M3n

+ JL.

(2.22)

В то ж е

время имеется

дополнительная масса U/2c2

и

на жесткой структуре. Это есть прямое обобщение формул (2.20).

Предположим теперь, что з а р я д Q движется с ма­ лой скоростью v. Тогда выражение д л я полной энер­ гии частицы Q и структуры [в отличие от величины,

даваемой формулой

(2.3)] имеет

вид

 

 

п

о л н

{1-ѵ*/с*)Ъ

^

2

( 2 ' 2 3 )

Формулу

(2.23)

можно переписать

в

несколько

ином виде:

 

 

 

 

 

Последний

член в

квадратных

скобках

есть новый

член, соответствующий нашей теории, как непосред­ ственно видно из сравнения формул (2.24), (2.3) и (2.10). В большинстве практических случаев он остается малым и формула Эйнштейна (2.3) является хорошим приближением .

1

Смотрите также файлы