Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 76
Скачиваний: 0
чина, поскольку эта средняя оказывается совсем не малой величиной, а, напротив, даже большей, чем С2! Отметим, что оказывается возможным строго доказать, что малой будет величина
((LL — С2))я < ц к —> 0 при V -> оо |
(5.6) |
и, кроме того, что |
|
4- |
|
~ ( ч г ч г ) н < ^ - * ° ПРИ F ->0°- |
М |
К необходимости этого доказательства мы приходим, если рассматриваем гамильтониан без источников Я (5.1) и вводим вспомогательные операторные конструкции:
= |
+ |
l |
+ |
+ |
vf |
L |
a_f, (5.8) |
|
|
af = |
ufaf + |
|
где
IL - 1 V ' + E f
~ e (/) , / |
, |
vf = —^ r - } / |
1 |
V 2 |
|
\f C2%) + T2 . |
|
I I
Щ
Можно отметить, что эти операторные конструкции (5.8) лишь «приближенно удовлетворяют» при (/ Ф /') ком мутационным соотношениям статистики Ферми. Если бы оператор L был с-числом и L — C, то тогда эти кон струкции точно совпадали бы с «новыми» ферми-опе- раторами [42], связанными со «старыми» каноническим ц-и-преобразованием.
Записывая уравнения движения относительно опе раторных конструкций (5.8) с учетом уравнений (5.2), мы можем после ряда громоздких преобразований представить их в виде
+
|
dat |
+ |
|
|
1 ~ а Г |
+ E t a f = Rf> |
|
где среднее, |
т. е. (Rf ■Rf)^, |
как раз и выражается |
|
через эти две |
средние |
(5.6), |
(5.7). |
165
4*
§ 2. Способ оценки средней (RfRf)H
Займемся оценками для средних' (5.6), (5.7). Для доказательства неравенств (5.6) применим теорему 3.1 о близости свободных энергий, которую переформули
руем следующим образом.
+
Т е о р е м а 5.1. Пусть операторы Т, L, L в гамиль тониане Н удовлетворяют условиям
I hf |
Q = |
const, |
| |
у V ) I |
• T2f I < |
Qo = const, |
^ |
f |
|
|
' |
где Q и Q0— постоянные при V ->oo, и пусть свободная энергия, вычисленная на единицу объема для гамиль-
хз +
тониана Т — 2 j T fafaf, ограничена постоянной
— y In Sp е~Т1в ^ М 0 = const.
Аппроксимирующий гамильтониан для системы (5.1) имеет форму (5.5); тогда справедливы неравенства
|
О< |
absmin L |
(Н (С)) - fv (Н) < s' |
(-^ ), |
(5.10) |
причем |
величина е' (1/V) —> 0 равномерно |
по 0 |
в интер |
||
вале О < 0 ^ 0 о, где |
0О— произвольная температура, а |
||||
foo (Н (С)) = |
|
|
|
|
|
= |
Щ - - |
2 T J S F |
I {В, - Г, ~ 20 • In (1 + ^ |
« » df. |
|
Чтобы применить эту теорему к доказательству не равенств (5.6), (5.7), проведем следующие рассуждения. Рассмотрим системы, определяемые гамильтонианом, линейно зависящим от некоторого параметра т:
Я ^ Г о + Пф. Определим формально выражение
нх fv (Нх) = — у \ п S p e " ~ 0 \
которое назовем свободной энергией на единицу объема V
166
для модельной системы Ят. Тогда можно доказать неравенства, справедливые для любых операторов Г0, IV
у СГ^г.+г, < |
fv (Го + Г,) - |
fv (Г0) < |
у |
<Г,)Г(, (5.11) |
||
где |
|
■ну |
|
|
||
/ р \ |
1 |
|
|
|||
Sр Г 16 |
(т = |
0, |
1). |
|||
Онх — у |
Sp е - н у |
|||||
|
|
|
||||
Для оценки (5.6) |
положим |
|
|
|
||
Я = Г0 + Г„ Г0 = |
Я — Г,, |
Гj = pG = |
р1/ (LL — С2)2, |
|||
р —-фиксированное положительное число, тогда из (11) имеем
(С)Я < Д ( H ) - f v ( H - p G)
V
и, следовательно,
{{LL - С2)2)н |
{Щ — fv (H— Vp (LL—С2)2) }. (5.12) |
Теперь к правой части (5.12) остается применить сформу лированную выше теорему и показать, что эти свобод ные энергии в пределе (V —> оо) совпадают.
Введем следующее «сокращение»: говоря, что си стема с гамильтонианом
Я ' = {Я — Vp (LL — С2)2}
будет аппроксимироваться системой
Я (S) = {Я — Ир (2S (LL — С2] — S2)}, |
(5.13) |
мы имеем в виду, что соответствующие свободные энергии, построенные на их основе, будут близки в смысле теоремы 1.
Учитывая, что
V +
Н = Т — ^ LL,
запишем (5.13)
{ r - F ( 2 5 p + |) T L + (S2 + 2SC2)B p}. (5.14)
Используя теорему 5.1, видим, что (5.14) будет аппро-
167
ксимироваться формой, квадратичной по ферми-опе- раторам:
Я (5, С') = { Т - V ( j + 2Sp) (C'L + C L - С С) +
+ Fp(52 + 25C2) } . (5.15)
Напомним, что система (5.13) будет аппроксимироваться формой (5.5). Заметим, что, в общем случае, в (5.5) С — комплексное число, но можно показать, что абсо лютный минимум функции f (Н (С)) реализуется при вещественном С. Поэтому в аппроксимирующем гамиль тониане Я (С) можно считать С вещественным. Сравни вая «аппроксимирующие формы» гамильтонианов (5.15) и (5.5), видим, что для того, чтобы правая часть нера
венства (5.12) |
была порядка |
при V ->• оо, сле |
дует выбрать |
решение |
|
|
С' = С и |
5 = 0. |
Оказывается, нетрудно проверить, что такое решение существует на самом деле и, кроме того, можно указать такое р = Ро > 0, при значении которого существует единственно возможное 'решение проблемы абсолютного минимума свободной энергии, построенной на основе формы (5.15).
Иными словами, на основании этой теоремы на ходим, что
((LL — |
С2)2) я < |
7 8 ( т ) 0 |
при |
F ^ ° ° - |
(5Л6*) |
|
Сходным |
же |
способом доказывается |
неравенство (5.7). |
|||
В результате |
этих рассуждений |
приходим к оценке |
||||
|
|
|
{RfRf)H<z( l l V) , |
|
(5.16) |
|
где ё(1/К)->0 при |
V—>оо. |
|
|
|
||
§ 3. Вычисление бинарных средних
Основываясь на уравнениях движения (5.9) и учитывая оценку (5.16), можно провести рассуждения, аналогич ные работе [36], и получить соответствующие оценки для разности корреляционных функций, построенных;
168
на основе гамильтониана (5.1) и соответствующего
аппроксимирующего |
гамильтониана (5.5). |
||
При этом важное значение имеет лемма 5.1. |
|||
Л е м м а 5.1. Пусть уравнения движения для опера |
|||
торов а{, где | af |
bx= |
const, имеют вид |
|
i |
daf |
— af + |
Rf, |
|
|||
где |
|
|
|
(RfRf + RfRf)u ^ |
>0 |
при F->oo, |
|
и пусть В — ограниченный оператор
I В | <1 b2= const.
Составим разность
D = (afB)H- e - z ^ ( B a })H.
Тогда справедлива оценка
I Д | < - § - & 2 V * 7 -
Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись спектраль ными представлениями для двувременных средних [49, 50], запишем средние разности D:
-fоо
(а} {i) В (т))я — |
f |
/+ |
(а)еш ^ - хЫа, |
|
J |
аВ |
|
|
—оо |
|
|
|
+оо |
|
|
(В (т) af (t))H= |
f |
/+ |
(со) e“''ee‘to(;_T) dco. |
|
•' |
аВ |
|
Рассматривая безвременные средние, положим / = т, выражение для D представим в виде
|
+оо |
— е[и-£ (f)]/6| |
_ |
|
|
£> = |
f |
|
(1-Л) |
||
асВ |
( ® ) { 1 |
|
|||
|
J |
|
|
|
|
Замечая, что |
|
|
|
|
|
| 1 _ е[®-я Ш1/е |^ |
(1 + еш/е), |
|
|||
имеем оценку |
+00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| D | < { |
I |
| / + (со) 11« — £ (/) |(1 + |
е®/0) da, |
|
|
D |
|
I аВ |
1 |
|
|
169