Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

мильтонианом Но удовлетворяет всей этой цепочке уравнений для точного гамильтониана Н{2) с ошибкой порядка О (1 /V). Однако, разумеется, с чисто матема­ тической точки зрения и такого рода рассуждения не являются вполне законченными. Тем не менее эти ра­ боты представляют собой существенный вклад в изу­ чение и нахождение асимптотически точного решения.

Укажем, что строгое обоснование асимптотической точности результатов работ [7—9] представляет суще­ ственные математические трудности.

В чисто математической постановке такая задача была рассмотрена Н. Н. Боголюбовым в работах [10, 11]

В качестве дополнительных условий полагалось, что функции к (/) и Т (/) удовлетворяют следующим общим условиям:

*) Надо отметить, что с физической точки зрения чистая фак­ торизация ядра (3) описывала так называемое взаимодействие в «s»-состоянии, и когда требовался учет высших состояний (на­ пример, р- и d-волны ... ), следовало рассматривать ядро в форме

ТП

8

1) функции A(f), Т (/) действительны и обладают свойствами симметрии:

ная проблема (2) с ядром (3) и условиями (4) была полностью исследована для нулевой температуры.

Оказалось, что такую задачу можно асимптотически точно решить при стремлении объема системы к беско­ нечности, т. е. построить энергию основного состояния, функции Грина и корреляционные функции, характе­ ризующие динамическое поведение систем.

Отметим, что в статистической физике нас всегда интересуют предельные (при V -> оо) значения изучае­ мых динамических величин и функций. В этой работе (также применительно к рассматриваемому случаю) было показано, как следует вводить квазисредние; именно, к введенному гамильтониану (2) добавлялись

источников устремлялась к нулю и тем самым строились определения квазисредних.

Существенный интерес представляет изучение ана­ логичной проблемы при любых температурах, т. е. 0=^=0 и 0 = 0. В этом случае, однако, даже простейшее обобщение этой задачи оказывается невозможным. Методика, применяемая при исследовании этой про­ блемы, была существенным образом ограничена рас­ смотрением основного состояния. Исследованию этой сложной проблемы для модельных гамильтонианов вида (2) с притяжением (в случае температур, не равных нулю) посвящены работы [14, 15].

9

В них подробно изучалась обобщенная модельная система (с притяжением вблизи поверхности Ферми), характеризуемая гамильтонианом

Эта система переходит в обычную модельную систему БКШ, изучаемую в теории сверхпроводимости, если взять в качестве операторов Т, f a квадратичные формы из ферми-операторов

В упомянутых работах рассматривался случай, когда

и более общие системы [16—30], в которых «пары» взаимодействуют не только в s, но и в р и d и т. д. состояниях.

Для рассматриваемой модельной задачи (5) мы

Входящие сюда комплексные постоянные Са ( l ^ a < ! s ) определялись из условия абсолютного минимума функции

1Q

к нулю при У->оо. Полученные результаты при конеч­

можно построить и найти выражение для свободной энергии, используемое при рассмотрении фазовых пере­ ходов, причем эта методика была разработана для случая произвольных температур.

Далее, в работе [15] на примере модельной системы (5) при s = 1 мы наметили путь получения асимптотически точных оценок для простейших корреляционных функ­ ций бинарного типа.

В серии наших статей [31—41], которая послужила основой этой работы, мы развили новый метод, позво­ ливший рассматривать системы (5) с ядром типа (7) при любых температурах в случаях, когда параметры ga положительны, отрицательны или принимают разные знаки. При этом нам удалось построить не только асимптотически точные выражения для свободных энер­ гий, но и для многовременных корреляционных функций, функций Грина, которые полностью характеризуют дина­ мическое поведение системы.

Попутно выяснилась необходимость в введении но­ вого определения квазисредних, поскольку общепринятое до сих пор определение оказалось в рассматриваемых нами случаях недостаточным.

Для того чтобы объединить все изучаемые нами модельные задачи и существенно упростить изложение материала, схема изложения работы строилась сле­ дующим образом.

Все рассматриваемые модельные задачи приводятся

11