Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
Откуда
\ D \ K |
_j_ |
J+ |
(ш) (©— E(f))2(l + e®/0)dco® |
|
|
e |
|
||||
aa |
|
|
|||
|
|
|
|
-f-oo |
|
|
|
|
|
J+ (со) (1 + 6®1'9) da>. |
(2-Л) |
|
|
|
|
BB |
|
Но в силу условия |
леммы | В | ^ & 2> поэтому |
|
|||
|
|
|
(ВВ + |
ВВ)Н^ 2 Ь \ |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
< 5 В + В Б ) я = |
Г /+ ( о а ) ( 1 + е “ / в ) Ж » < 2 Й . |
(3 - Л ) |
||
|
|
|
•> |
вв |
|
Сдругой стороны,
+оо
Г } + ( a ) ( a - E ( f ) n \ + e ^ ) d < B =
** aa
—оо
|
= (RfRf + |
E{R{)h- (4-Л) |
Здесь по условию леммы |
|
|
( R f R f + R f R f ) H ^ 2ёи. |
|
|
Таким образом, подставляя |
(3-Л), (4-Л) |
в неравенство |
(2-Л), получим окончательно |
|
|
| D 1< j ^ / ^ |
= -§-62 1/ 1 7 , |
|
что и доказывает нашу лемму.
Рассмотрим теперь пример вычисления одновремен
ной корреляционной средней |
|
{afaf)H. |
(5'. 17) |
Заметим, что при рассмотрении |
средних, построенных |
на основе гамильтониана (5.1) и составленных из про изведения ферми-операторов, отличными от нуля будут те средние, которые содержат одинаковое число опе раторов рождения и уничтожения. Запишем выражения
170
операторов |
af, |
+ |
|
af, |
+ |
|
|
|
|
|
|||
af через |
af: |
|
|
|
|
|
|||||||
Of= |
|
|
|
+ |
l |
|
+ |
+ |
|
|
£ |
|
(5.18) |
uja} — vfa-f ~c~~b fjf, |
af = ufaf — vf -£r ct_f + f)+, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"t* |
|
|
|
|
^ = |
y S V |
- i flf’ |
"Hf = |
( J — |
^ f ) ar |
(5-19) |
|||||
|
|
|
|
|
(f> |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
(5.18), |
(5.19) |
в |
(5.17), |
найдем |
|
|
||||||
+ |
|
|
. |
+ |
|
+ + |
|
£ |
+ |
|
|
|
|
(aja^H= |
(u'2fajaf — ufvfafa_f |
— ufafr)f — |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
- |
u fv f ± a _ faf + v f ± a _ fa _ f - ~ |
- v |
f ± |
a _ fx\f + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ щ{щщ — »fa-r§- + |
^f))ff. |
(5-2°) |
|||||
Для |
оценок |
членов |
в |
правой |
части |
(5.20) |
учтем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
оценку |
(5.16). |
Обозначая |
----1 }==У> |
с помощью |
|||||||||
(5.16) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(г/% < еб» ->0 |
при |
|
У->оо. |
|
(5.21) |
||||
Отметим, |
что члены в (5.20), содержащие операторы fjf, |
||||||||||||
fj |
могут |
быть |
оценены с |
помощью |
неравенства Бо |
||||||||
голюбова *) и далее с помощью |
оценки (5.21). В чле |
||||||||||||
нах, где оператор гц зажат с |
двух |
сторон операто |
|||||||||||
рами L, af ^см., например, случай (a_faf |
стр. |
173j, |
|||||||||||
можнопереставить |
его, |
|
пользуясьасимптотической |
||||||||||
коммутируемостью, и затем оценить по указанной схеме. Во всех случаях для этих членов строится оценка, ко торая мажорируется величиной е(,-»0 при П->оо.
Укажем, что оценки следующих средних удобно найти с помощью леммы 5.1:
*) В работе |
[42] |
имеется доказательство неравенства |
+ |
+ |
1/2 |
| ( ^ • ге>)я | < { ( r j - г|>д • <ю • ш)я } .
171
/+ + / V
Оценим, например, среднюю (ccfa_f-^r> . При этом
+
следует заметить, что операторы af, af при (f Ф /')
«приближенно удовлетворяют» коммутационным соот ношениям статистики Ферми, т. е.
| cyaf+afcy | |
cons^ |
|
jIaf/af+afcy |I^ |
—constу |
||
+ + |
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
леммой |
5.1 и положим |
+ ^ |
|||
В — a_f — ; |
||||||
тогда имеем оценку: |
|
|
|
|
||
+ + L |
|
|
|
|
|
+ - f - |
afa-f ~Q я |
(» -/“i b „ |
e~c m |
|
|||
где Кг— const, |
откуда |
|
|
|
|
|
/ + + |
1 \ |
|
|
Кг_ |
|
|
(afa~f |
С ) я |
|
|
V • |
|
|
Аналогично получаем |
|
|
|
|
||
|
|
+ |
2 |
« 1 / — I |
К2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
у |
Ь2V % + |
- у |
|
Применяя эти оценки, видим, что первый и пятый члены дадут здесь основной вклад, т. е.
+
Второй член преобразуется перестановкой операторов L
+
с a_f, и далее с помощью неравенства (5.21). При ближенно говоря, его можно представить в виде «глав ного члена»
+ |
|
члены» |
при |
П->оо}. |
|
v2 (a^fa_f)H+ («малые |
|||||
Учитывая далее тождество |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
LL |
|
|
afaf + afaf — 1= |
V2 |
С2 |
|
|
|
где G — ограниченный оператор, | G |
const при V -> оо |
||||
и лемму 5.1 |
(B = af), найдем оценку |
для средней |
|||
172
+ |
В результате этих замечаний |
придем |
к нера |
|||
(сра?) я . |
||||||
венству |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
’ t(2) |
|
|
|
|
|
|
: Ъу > |
|
|
I |
1+ е " |
|
|
|
|
где Щ]- |
О при V - > oq, |
откуда |
|
|
||
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
v i l H ( a f ° |
f |
, |
j_ J f l 9 + y f th ( 20 ) |
|
|
|
|
|
1 |
+e |
|
|
Заметим |
еще, что средние, содержащие |
только |
комби |
|||
нации ферми-операторов вида |
|
|
||||
|
|
|
|
+ + |
|
(5-22) |
|
|
a-faf • • • %а -л |
|
|||
и построенные на основе гамильтониана Н{ 1), будут равны нулю в связи с правилами отбора, например, = 0. Поэтому при определении «квазисредних» от таких произведений ферми-операторов по гамиль
тониану Н следует дополнить их операторами вида
L/C, L/C. |
(5.23) |
Физический смысл добавления к парным произведе ниям (5.22) операторов (5.23) состоит в том, чтобы по лучаемая в результате операторная комбинация была бы
градиентно |
инвариантна. |
|
|
|
|
квазисредней: |
||||
|
Поясним это |
на |
примере вычисления |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
(5.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
(5.18) |
в (5.24), имеем |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ ix |
||
< |
a_fa? |
> я = |
< |
|
■faf |
L |
|
|
||
|
с |
■ucvtaV^V _faf -jy + |
||||||||
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
*4* |
|
|
|
L |
+ |
W |
f 'f |
|
L |
~ |
Vffff i |
L L |
|
+ ufa-f^f f |
|
af T |
a- f t + |
||||||
|
+ |
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
+ |
+ |
Dfa f ~ c % |
~C+ |
^ - f Ufa f ~c |
~ |
^ - f Vfa - f ~ c |
~C ^> я ' |
||||
Применяя |
оценки |
предыдущего |
примера, видим, что |
|||||||
173