Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

того, чтобы все задачи, рассматриваемые далее в гла­ вах 3 и 4, им удовлетворяли.

следует лишь удовлетворить этим дополнительным усло­ виям 1, а затем результаты глав 1 и 2 и доказанные там теоремы 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 автоматически распро­ страняются на случаи модельных систем с отрицатель­ ным четырехфермионным взаимодействием (глава 3), модельных систем с положительным четырехфермионным взаимодействием, а также смешанного случая, гамиль­ тониан которого содержит как члены с «притяжением», так и члены с «отталкивательным» взаимодействием (см. главу 4).

Как мы указывали, все изучаемые в работе дина­ мические задачи приводятся к модельному гамильто­

12

Относительно квадратичной формы (10), далее в ра­ боте называемой аппроксимирующим гамильтонианом,

такой системы оказывается нетрудно вычислить в явной форме соответствующие выражения для свободной энер­ гии, корреляционных функций, и т. д.

Отметим, что четверная форма, описываюшая взаимо­ действие (1 1), благодаря условию (13) является в каком-то смысле малым добавком.

Следует подчеркнуть, что потребовалась чрезвы­ чайно сложная математическая техника, чтобы изучить «эффект» влияния этого добавка на свободную энергию, корреляционные функции, функции Грина и далее

тельство для рассматриваемых там конкретных систем: условия (13).

Впервой главе рассматриваются прежние способы [41]'

итрудности, связанные с введением квазисредних для некоторых частных модельных систем с четырехфермион­ ным отрицательным взаимодействием. В связи с этим формулируется новый принцип рассмотрения модельных

ставляют довольно широкий класс модельных систем, которые включают в себя в качестве важных частных случаев: а) системы с четырехфермионным отрицатель­ ным взаимодействием (например, модельные системы БКШ, изучаемые в теории сверхпроводимости); б) си­ стемы с положительным четырехфермионным взаимо­ действием, а также смешанный случай; в) системы, гамильтониан которых содержит как члены с «притя­ жением», так и члены с «отталкивательным» взаимо­ действием.

Далее, для этого общего класса модельных систем проводится доказательство асимптотически точного на­ хождения одновременных и многовременных корреля­ ционных средних. Попутно указывается на возмож­ ность получения равномерных по 0 мажорационных оценок.

13

Во второй главе на основе полученных результатов и мажорационных оценок первой главы проводится доказательство обобщенных предельных соотношений для многовременных корреляционных средних (соста­ вленных из произведений полевых функций), Г-произ- ведений и функций Грина.

Замечая, что разность числа частиц с противополож­

из произведений ферми-операторов рождения и уни­ чтожения.

На основе проведенного рассмотрения сформулиро­ ваны теоремы 2.1 и 2.2 — существования пределов у средних, взятых по аппроксимирующему гамиль­ тониану.

В третьей главе рассматривается конкретное прило­ жение результатов двух первых глав к модельным системам с четырехфермионным отрицательным взаимо­ действием. Здесь же указываются некоторые трудности, связанные с определением квазисредних для модель­ ных систем.

Развивается новый способ введения вспомогательной системы и определения квазисредних широкого класса модельных систем, содержащих отрицательное взаимо­ действие.

В §§ 1—3 рассматривается вопрос о предельном выражении для свободной энергии при К —>оо.

Изучается модельная система, характеризуемая га­ мильтонианом (5). Рассматриваются случаи, когда опе­ раторы Т, Ja имеют вид (6).

В § 1 главы 3 изучаются некоторые свойства сво­ бодных энергий, построенных на основе модельного (5) и аппроксимирующего гамильтонианов (8).

Кратко формулируются результаты относительно близости свободных энергий, построенных на основе гамильтонианов (5) и (8); при этом получаемые оценки оказываются равномерными по температуре 0. Далее отмечается, что из неравенств для разности свободных энергий, построенных на основе модельного (5) и аппро­ ксимирующего (8) гамильтонианов, не следует еще суще­ ствования предельного выражения для свободной энер­ гии, построенной на основе гамильтониана (5).

14

В связи с этим в третьей главе сформулированы те условия, при которых корректно доказывается суще­ ствование предела при стремлении объема к бесконеч­ ности для свободной энергии, построенной на основе модельной системы (5), т. е. lim f(H).

V -> ОО

В § 6 главы 3 рассматривается вопрос об определе­ нии квазисредних. Пусть 21 будет каким-либо оператором того вида, для которого в главах 1, 2 были сформули­ рованы предельные теоремы, например произведением из ферми-амплитуд, полевых функций, и т. д.

Высказывалось мнение, что квазисредняя та­ кого оператора для рассматриваемого гамильтониана определяется как предел

связанные с определением (14). В данном определе­ нии (14) не указывается, например, в какой области должны лежать параметры (v) и каким образом следует

дела в выражении (14) может и не существовать, поскольку это выражение равно финитной статисти­ ческой средней, умноженной на фактор v/| v |, благодаря присутствию которого при стремлении v -*0 выраже­ ние (14) не стремится ни к какому пределу. Предел существует, например, тогда, когда мы стремим v к нулю таким образом, чтобы отношение v/| v | было постоян­ ным. В общем случае факторизующегося ядра (3) (т. е. при числе членов (a)> 1) ситуация с предельным пере­ ходом v->0 оказывается еще более сложной. Кроме градиентной инвариантности (обусловленной градиентной группой) могут появиться и другие группы преобразова­ ний, например группа вращений.

15

нальными С с положительным коэффициентом пропор­ циональности. В соответствии с этим в § 7 показано, что вспомогательный гамильтониан с источниками примет вид

Н определяется выражением (5). Подчеркнем, что Са обозначает точку, в которой достигается абсолютный минимум функции (8*), взятой уже после предельного

перехода ( F —><х>), и потому Са от V не зависит. Отме­ чается, что при сделанном выборе вспомогательного

Эти результаты резюмированы теоремой.

Т е о р е м а 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3 и гамильтониан представляется выражением (16), в ко­

где Я (С) — аппроксимирующий гамильтониан, опреде­ ляемый выражением (8). Благодаря доказанному ре­ зультату— малости «добавочного члена» с четверной формой по ферми-операторам (19) будут выполнены все условия 1 главы 1 и в связи с этим все результаты глав 1 и 2 автоматически распространяются на приве­ денный выше случай.

16