Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

форма Я (С, S) представляет обычную форму аппрокси­ мирующего гамильтониана для гамильтониана Я из

Перейдем в заключение к вопросу о построении «гамиль­ тониана с источниками» для определения квазисредних.

Возьмем, как и в главе 3

Ввиду (4.81) ясно, что Гг из (4.89) совпадает с гамиль­ тонианом (4.68), и потому для него справедливы не­ равенства (4.67). Имеем далее

160

Г л а в а 5

О МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

В заключение остановимся еще на одном подходе [59] вычисления квазисредних для некоторых модельных систем, который не предполагает дополнения основной системы членами с «источниками», т. е. предложим подход, отличный от методов расчета квазисредних, рассмотренных в главах 1—4. Такая методика вычис­ ления квазисредних, как будет показано, является вполне реальной. Предлагаются примеры вычисления квазисредних.

§1. Общая постановка задачи

Вряде работ [38, 40] мы рассмотрели так называе­ мые модельные задачи статистической физики, допуска­

менных корреляционных функций. Существенно отме­ тить, что исследование проводилось на математическом уровне и для установления факта асимптотической близости была построена специальная мажорационная техника.

При исследовании функций Грина и многовременных корреляционных функций нам пришлось воспользовать­ ся понятием квазисредних и ввести в рассматриваемый гамильтониан так называемые члены с источниками, которые устремлялись к нулю после проведения пре­ дельного перехода V —>оо,

162

Поясним сказанное на одном из простейших при­ меров изученных нами модельных систем — на системе, характеризуемой гамильтонианом типа БК.Ш:

ны некоторые весьма общие условия, обеспечивающие достаточно быстрое убывание Xf при р -> оо. Если

составить для гамильтониана (5.1) уравнения движения

ностью до величин порядка 1/V. Поэтому, казалось бы, естественно предположить, что оператор L «есть почти» с-число. Но в таком случае (£)я — С, где через ( . . . ) я обозначено обычное среднее по гамильтониану Н:

, V Sp(...e"/0)

Spe^0 •

Однако ввиду того, что гамильтониан Н является ин­ вариантным по отношению к градиентным преобразо­ ваниям

ащ-*е'фа? (ср = const),

легко видеть, что все (a_faf)w = 0, так что и (L)H~ О,

и выходит, что нельзя сам оператор L даже «прибли­ женно» считать с-числом. Для того чтобы избавиться от этой трудности, мы воспользовались понятием ква­ зисредних и ввели в гамильтониан члены с источника­ ми, рассмотрев вместо Н гамильтониан:

Квазисредние по Н мы определили как обычные сред­ ние по гамильтониану Г, в которых г —>0 совершается

163

после предельного перехода 17->оо. Тогда нам удалось строго доказать, что при любом г > О

((L — С) (L — С))г —>0 при V —> сю,

где С — некоторая положительная величина. Взяв вме­ сте с точными уравнениями движения (5.2) «прибли­ женные уравнения» движения

называемому нами «аппроксимирующим» гамильтониа­ ном, нам удалось с помощью специально разработанной мажорационной техники доказать, что корреляционные функции, составленные из произведения ферми-опера- торов, построенные на основе (5.3), асимптотически близки к корреляционным функциям, построенным на основе гамильтониана (5.5) в смысле квазисредних, т. е. сначала совершается предельный переход F->oo, а затем г —>0. В результате были получены мажорационные оценки для разности корреляционных функций, построенных на основе гамильтонианов (5.1), (5.5).

Соответствующие оценки приближения для корреля­ ционных функций и функций Грина при V -> °о были неравномерны по отношению к г -> 0, и поэтому весьма существенным был порядок предельных переходов сна­

с источниками, поскольку квазисредние с физической точки зрения характеризуют рассматриваемую систему и введение источников в каком-то смысле является искусственным приемом, нарушающим инвариантные

164