Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

142

при ( s= 1, п )

, то начальные моменты будут равны

 

 

 

 

 

 

(13.41)

и

 

 

 

 

 

( * . , Л у) =

У * Я у = ^

^ с < г ) ]

 

(13.42)

Дисперсии коэффициентов разложения можно определить из оле,дую­

щей системы уравнений

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

^

S D s ^ t s 2 =

Ч 'ё Я у

0 = V O .

■ «3.43)

 

S«i

 

 

 

 

Решая эту си стем

уравнений, находим

 

 

 

s>s- i

 

 

(13.44)

 

 

 

 

 

при условии,

что

Д ф О

 

 

 

Таким образом, мы получили формулу для оценки дисперсий коэф­

фициентов разложения случайной функции.

 

 

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении параметров неявной функ­

ции, определяемой уравнением.

 

 

 

Пусть дано уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.45)

которое определяет однозначную непрерывно дифференцируемую функцию

у = УСЪ ,т*г ,

в

некоторой

окрестности точки ( v w, Рго, . . v-n0, у 0)

области

JO

. Будем считать, что заданы системы значений перемен­

ных V1{ ,

Vzi

, ■- - , V ni

и,

у i

( i = f i r ) .

Требуется вычислить параметр! неявной функции при условии, что

формы S ;

и

S к

( /с =

)

минимальны.

Предположим,

что

9°(Vi,Vji >•••>Vh, у ) является линейной, т . е .

 

 

 

 

 

 

п

,у) = ay +

a s »s .

(13.46)

 

 

 

 

 

 

 

 

143

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим левую часть выражения (13 .46)

через

Z

.

Тогда

получим

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

= ° У

+

2

tts Vs

 

 

 

 

 

 

(1 3 .4 7 )

 

 

 

 

 

 

 

S 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая во внимание

(1 3 .4 7 ),

вычислим значения начальных момен­

тов

^ ( ^ , г М = а д

 

,

 

 

 

и

f ( y , x ) = o .

 

 

 

 

Для определения неизвестных параметров неявной функции составим

систему однородных линейных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

а , Я Ъ , Ъ )

+ a z 'f(p„Vz) + . .

. ■ Ю л М М + а Н Щ ^ о ,

 

a , t ( v h Vz)+ a z -$(vz ,v-z )

+

.. . +

 

 

 

+

 

 

 

 

(1 3 .4 8 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,{W,y) +Oi.J(v-z,j/) + . .. + cuUvn,i) + aMy,y) *°-

 

Если определитель этой системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>Г0>„гМ Я Л , г Ъ ) •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Г( У ,Л ) V ( ^ ^ z ) ■

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 3 .4 9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я Ч , ;/)

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

система имеет нулевое

решение, т . е .

OL,

- CLt

-

. . .

=■

л

= О.

Отсвда следует, что переменные

г-*>,

vz , .

. . , Р п , у

 

линейно незави­

симы.

В том

случае,

если определитель

Д

равен

нулю,

то система

имеет ненулевое решение и переменные

Р,, Рц, ...

,

 

 

линейно

зависимы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

определитель

А

можно принять в

качестве

критерия линейной зависимости и независимости аргументов функции

Ф0Д>

,Рп ■, у ) = О . Поскольку

 

определитель

 

А

 

зависит

от моментов переменных

 

, . . . ;

 

, у -

, то он выражает общее

свойство неявных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть определитель

А

равен нулю,

а минор

М

,

состоящий

из

п

первых строк и

п

первых столбцов,

отличен

от гуля.

 

144

При этом условии ш тор М является базисным минором, а перемен­ ная у зависит линейно от базисных переменных v-,t г>2 ) , . . тгп Из выражения (1 3 .4 ?) следует, что

 

а

 

п

 

 

 

J

=

2Г* 9 * =

2

6s ^

>

(13 .50)

 

S*1

 

S*1

 

 

где Ss = - ~

( s - f , n )

- параметры функции у .

 

Для определения параметров функции

 

у = ' /( v u

Vt ,.. . / „ )

необходимо

решить систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

ё, 'f(vu zs1) + Szf(vttVz) + ... + &bV(v,,v„)=$(vhy)

4 V(?„ Ъ) +4Г(г,УА А) +... +М ъ ,* * )=V

,

>"

(13 .51)

4 f

4 * t o , # * ) * •- •+ 4

= г f a , у).

Эта система имеет единственное решение, так как ее определитель

 

" К г Л .О V ( ^ ,y 4 ) . . . ^ ( v „ v a )

Д- М »

^

. V (Vk,Vn)

 

(13 .52)

f O £ , ^ ) . . .

отличен от нуди.

Во многих случаях неявная функция определяется уравнением, левая часть которого есть сумма аналитических выражений, а правая часть равна единице. Очень часто такой способ задания неявной функции применяется в аналитической геометрии.

1 4 5

В общем случае такая неявная функция выражается /равнением вида

п

 

 

 

 

 

 

5*/

 

 

 

 

г^п

1 - 0 ,( 1 3 . 5 3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

«^5 =

 

л„...,<гг)-

аналитическое выражение, содержащее па­

раметры

определяющего уравнения;

 

 

 

 

 

 

 

 

/s

 

 

,

v-m,

у )

-

аналитическое выражение, содержащее пе­

ременные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение,

Функция,

определяемая уравнением

(1 3 .5 3 ),

назы­

вается приведенной неявной.функцией.

 

 

 

 

 

 

 

Если в результате выполнения математических операций и замены

переменных можно представить неявную (функцию ?(гЛ ,

■•,

 

У ) - °

в виде уравнения (1 3 .5 3 ),

то неявная функция является приводимой.

 

Пусть дана алгебраическая неявная.функция, определяемая урав­

нением

Ф (

•^'2; ■■■>з-т у у ) ~с, и степень уравнения относительно jy

позволяет выразить эту функцию в радикалах.

 

 

 

 

 

 

Предположим, что известны системы значений переменных

 

•Xti у

zi у

 

> ^Cmi

И

 

у i

 

( I ~ U

•

 

 

 

 

 

Требуется найти неизвестные параметры неявной функции

 

^ / у ^ г у - - }

Л п

так,

чтобы

квадратичные форш

£ к

были

минимальными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя метод минимальных отклонений определим неизвестные

параметры неявной функции.

Так как неявная

функция

 

 

 

Ф ( a:,,

x Z). . ,}

Х т , у )

= о

является

алгебраической, то

ее

можно

представить

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,xm, у) = a,

 

гг— ■

 

ds Js

 

ds

 

 

 

9 ( x , , x z , -

+ 2asx,xi ...xj, y.

= o,

 

(1 3 .5 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

S --1

 

 

 

 

 

 

 

 

где

d s ,J>s ,

. . . , f s

и

 

 

- показатели степеней переменных,

которые одновременно не равны нулю.

 

 

 

 

 

 

Из выражения

(13 .54)

при

 

а с Ф О

 

подучаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

S,

/-у* <*s

fisJ

. Л

S..

 

 

а 0Ф ( Ъ > Xz, ■•■, Хт , у )

= 1 + ] Г

 

(1 3 .5 5 )

 

«Л- J tA

^ , ,

у

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s = i

146

Преобразуя выражение

(13 .55)

при условии, что

J t c ~ -

 

 

и

J s * -

- § j

• имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

Ж

 

Х/

 

- Хт У ^ - 1 - - С .

(13 .56)

'

 

 

 

 

 

S = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению из

выражения (13 .56)

следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

Jf

 

^

 

 

 

 

 

 

х

^

у

) * ^

* *

*

*

* -

" *

*

?

s- *

- °

-

<13 - 57>

 

 

 

 

 

 

S - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая в уравнении (13 .57) % - 1 + P { x i , xi,-

, х т , у )

,

получаем

 

 

 

Z =

J L ,

 

,

A

 

A

£

 

 

 

 

 

(13 .58)

 

 

 

 

<d$ x i

Х1

■ ■ • Хт

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S aJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведя

замену переменных в

выражении (1 3 .5 8 )

при условии,

что

^5 = a7

 

fis

 

-A

Ps

 

,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

Xl

• • Хт

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

% = ^

< J s X t

Х г

 

• • • Х т

У

 

=

 

 

 

 

.

 

 

(13.59)

S=1

 

 

 

 

 

 

 

 

S=i

 

 

 

 

 

 

 

Принимая во

внимание

(1 3 .5 9 ),

вычислим значения начальных моментов

 

 

____

j

 

N

 

 

 

 

yAtc++/1fs

SX*dx +St)s.

 

 

 

 

x—•_у<**-л+t*s«з AJ>K*J>s+A

 

 

? ( * * .

«

VK »s = +

2 .

^

 

•' • Xmi

 

У<

 

 

(13 .60)

 

 

 

 

 

l^l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

/

 

v—1

 

 

А

 

Л

 

 

<5д

 

 

 

( ^rtr^ ^ )

=

^/E

= ^

 

X ii

Xl i

■■■

Xnti

y i .

 

 

(1 3 .6 1 )

7 = /

Для определения неизвестных параметров <ь/,,Az ,..., d п составим

Смотрите также файлы