Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

Достаточно часто используется безразмерная харак­ теристика рассеивания, которая называется коэффици­ ентом вариации у{Л'}.

на 0. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

/= 1

Дисперсия не изменится, если ко всем значениям случайной величины X прибавить постоянную С:

Если все значения X умножить на постоянную С, то дисперсия увеличится в С2 раз:

Пример 11.5. Определить D{X}t сг{Х} и у{Х} по данным приме­ ра II.2. В третьей строке табл. II.2 значение М{Х} взято из при­

мера II.4.

ю

D {X} = £ (х, - М {Х})2Рі = 0,1971 +

+ 0,1559 -f------1- 0,3664= 1,1192;

а {X} = V D {X} = 1,058; у {X} = а {X} : М {Х}=

= 1,058:8,2211 = 0,1287.

Математическое ожидание Л4{Х} является частным случаем начальных моментов случайной величины X, а дисперсия D{X} — частным случаем центральных мо­ ментов.

Начальным моментом nis порядка s случайной вели­ чины X называют математическое ожидание величины Xs

;= i

Начальные моменты первых четырех порядков опре­ деляются по формулам:

25

Центральным моментом p,s порядка s случайной ве­ личины X называют математическое ожидание величины

26

?7

Проверить правильность вычисления р3 и щі можно по формулам:

Моменты третьего и четвертого порядка используют­ ся для характеристики формы ряда распределения слу­ чайной величины X.

Пример 11.6. Рассчитать первые четыре начальных и централь­ ных момента по данным табл. II.2. Вычисления приводятся в табл. 11.3:

т\ = 67,5865; m3 = 555,635; т\ = 4567,93;

р, = т2— т\ = 68,7057 — 67,5865 = 1,1192;

Рз = т.л — 3/7/, тл 4- Ъп\ = 582,582 — 3-68,7057-8,2211 +

+ 2-555,635 = — 0,657;

р , = /77,-- 4//?3 /77( -}- 6/77, /7/2 — З/7/.j’ = 5005,9 —

— 4 ■582,582 • 8,2211 + 6 • 68,7057 - 67,5865 —

-3-4567,93 = 5,72.

Все приведенные числовые характеристики построе­ ны на основе теории моментов и называются парамет­ рическими. Существует и иная система характеристик, не связанных с ps и ms, которая называется непарамет­ рической. Такие характеристики обладают худшими ста­ тистическими свойствами (см. ниже п. II.6), по вычисля­ ются весьма просто, что делает их достаточно целесо­ образными для применения в прикладных задачах, в частности при контроле качества.

Непараметрические числовые характеристики нахо­ дятся в зависимости от положения элементов Х і в ряду распределения (см. табл. II.1) и могут быть определены на основе того, как они расположены по отношению к некоторым или всем рассматриваемым элементам. Наи­ более общей характеристикой монотонно возрастающего ряда Хі являются квантили — такое значение случайной величины Хд, ниже которого располагается q-тая часть ряда Хі из п элементов. Эта q-тая часть находится по соотношению (11.28), в котором К — целое числОі ука*

28

Квантиль j£0,5, разделяющий ряд надвое, называется медианой Me и является характеристикой центра груп­ пирования случайной величины X. Другой такой не­ параметрической характеристикой служит мода Мо — значение х,-, для которого в распределении (табл. 11.1) максимально рі. Могут быть и многомодальные ряды.

Мерой рассеивания служит размах ряда W, который равен разности между максимальным и минимальным Хі в ряду распределения:

И.З. Непрерывные случайные величины. Непрерыв­ ную случайную величину X невозможно охарактеризо­ вать (подобно дискретным) рядом распределения, по­ скольку она имеет бесчисленное множество возможных значений. Для количественной характеристики распре­ деления непрерывной случайной величины X прежде всего используется функция распределения F{x}, кото­ рая (так же, как и для дискретной X) выражает для каждого Хі вероятность того, что непрерывная случай­ ная величина X примет значение, меньшее х,-. Если F{x} непрерывная, и дифференцируемая функция, то вероят­ ность попадания X в интервал от х до х + Ах равна:

Р {x < X < X + Ах} = F {х -f Ах} — F {х}. (11.31)

При рассмотрении отношения этой вероятности к длине интервала в пределе (при Дх->-0) получаем про­ изводную

29

Функция cp {л:} называется плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения (рис. II.2). Зная плотность вероятности ф{х}, можно найти закон распределения F{x} или интегральную функцию

Величина cp {x}dx называется элементом вероятности. Для точки величина cp{x}dx равна нулю, поэтому попа­ дание непрерывной случайной величины X в определен­ ную точку — событие невозможное. Однако вероятность

Рис. 11.2. Интегральная функция распределения и вероятность попа­ дания X на отрезок от х , до дг2 (а); дифференциальная функция рас­ пределения (заштрихованная площадь cp[x}dx— элемент вероятно­ сти) и вероятность попадания X на отрезок от о до 6 (зачерченная площадь до кривой ср{.ѵ}) (б)

попадания X на элементарный участок dx (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна cp{x}dx. Вероятность попадания X на отрезок от а до б равна:

Р {а < Х < Ь) = J ф {*} dx —■F Щ — F {а}. (11.34)

ь

Дифференциальная функция распределения обладает свойствами:

а) ф{х} — неотрицательная функция, так как F{x} — функция неубывающая;

б) интеграл в бесконечных пределах от ср{х} равен единице (полная площадь, ограниченная осью х и кри­ вой ср{х}).

30

Числовые характеристики распределения непрерыв­ ной случайной величины X, связанные с моментами рас­ пределения, рассчитываются по формулам:

Все изложенное выше о математическом ожидании, дисперсии и иных моментах распределения дискретных случайных величин может быть принято и для непре­ рывных случайных величин (с учетом замены сумми­ рования всех дискретных значений х* интегрированием по области существования Х).

II.4. Теоретические распределения, наиболее важные для статистического анализа. Если значение случайной величины X формируется под одновременным воздей­ ствием очень большого числа независимых факторов, каждый из которых вызывает ее случайные колебания, примерно одинаковые по величине и равновероятные по знаку, то случайная величина подчиняется нормаль­ ному распределению. Плотность вероятности для нор­ мального распределения описывается функцией

Можно показать, что MN{x) для закона нормального распределения равно параметру г) (теоретическое сред­ нее), a Dn {X) = сг2, т . е. данный закон двухпараметриче­ ский. График плотности вероятности флфх} имеет вид симметричной колоколообразной кривой (рис. П.З, а) с максимумом при х=т] и двумя точками перегиба при

31