Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

Следовательно, искомая модель /Ср= 0,7052+0,002416 ЦТ.

N

Исходя из (1.6), сумма квадратов отклонений 2А*

квадратов, и в рассмотренном примере (см. табл. 1.2) она равна 115,02-ІО-4. Меньшую величину SS0Ct при гипо­ тезе линейности по имеющейся .в табл. 1.2 информации получить невозможно.

Следует обратить внимание на запись формул (1.11)

уравнений. Такая матрица [М] носит название «инфор­ мационной матрицы» [57,66]. Матрица [М] имеет очень важное свойство: она состоит только из элементов, включающих входы системы Хі (это ее свойство распро­ страняется иа любую размерность системы с К факто­ рами). Следовательно, существует возможность выби­ рать координаты опытных точек Х{и до проведения экс­ перимента некоторым способом, обеспечивающим опти­ мальность (с точки зрения цели всего исследования) построения и применения модели, т. е. математически планировать эксперимент.

Спланировать эксперимент — это, в частности, значит: а) выбрать из Nx действующих в системе факторов те наиболее существенные факторы Х\, Х2, ..., Хі,..., Хк,

уровни которых технолог собирается изменять; б) наметить пределы их варьирования (ТС) мин и

(Т С ) м аксі

в) наметить комбинацию уровней К факторов Хі, при которых будет исследоваться система;

г) определить число повторений опытов и измерений в каждой из выбранных комбинаций К факторов ТС.

Вопрос о составлении такого плана требует анализа

1 Матрица — таблица (в данном случае из четырех чисел), а оп­ ределитель — одио-единственное число, рассчитанное по элементам этой таблицы (см. ниже).

1% / •

с позиций новой научной дисциплины— математической теории эксперимента, которая изучает «оптимальное уп­ равление экспериментом при неполном знании механиз­ ма явления» [60] и является одним из направлений ки­ бернетики, основывающемся на применении аппарата математической статистики.

Информация, собранная при так называемом «актив­ ном» эксперименте по математически обоснованному пла­ ну, априори учитывающему цели эксперимента и мето­ ды обработки его результатов, имеет много большую ценность, чем информация от эксперимента, поставлен­ ного по традиционной методике, когда изменяется каж­ дый фактор в отдельности, или от наблюдений (так на­ зываемый «пассивный» эксперимент). При этом прак­ тически всегда меньше затраты ресурсов (материальных и временных) на активный эксперимент и существен­ но облегчается технологическая интерпретация моделей. Преимущества активных экспериментов сформулирова­ ны и обсуждены на основе большого опыта в работах В. В. Налимова [54,56]. Кроме минимизации числа опы­ тов автор отмечает, что при активном эксперименте:

оптимально используется факторное пространство (см. ниже), поскольку планы строятся так, чтобы с ро­ стом числа факторов увеличивался радиус обследуемо­ го пространства;

вводится четкая логика для всех процедур, последова­ тельно совершаемых экспериментатором;

условия опытов рандомизируются, т. е. (Nx —К) «ме­ шающих» факторов превращаются в случайные величи­ ны;

благодаря направленной организации эксперимента выполняются исходные предпосылки статистического анализа;

оценивается элемент неопределенности, дающий воз­ можность сопоставлять результаты, полученные разны­ ми исследователями;

повышается контроль за точностью эксперимента; стимулируется разработка новых инструментальных ме­ тодов исследования, уменьшающих ошибку воспроизво­ димости результатов.

Все частные математико-статистические методики, применяемые при решении задач анализа и оптимиза­ ции качества и технологии материалов вообще, а бето­ на в частности, могут быть объединены общей блок-

Г л а в а II

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА1

II.1. Понятие о случайных величинах, дискретные величины. Случайной величиной называется поддающа­ яся измерению величина X, значения которой подверже­ ны некоторому неконтролируемому разбросу при повто­ рениях данного процесса. Случайная величина является непрерывной, если она может принимать любое значение в некотором числовом интервале; случайная величина дискретна, если ее значения представляют собой отдель­ ные изолированные числа.

Совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном реальном комплек­ се условий, называется генеральной совокупностью, в которой число элементов УѴГ может быть конечным или бесконечным. Некоторая часть генеральной совокупно­

Пример II.1. Конечная генеральная совокупность — все зафик­ сированные результаты испытания бетона в лаборатории, например за 1973 г. Бесконечная — мыслимое число кернов, которые можно было бы высверлить из бетонного тела плотины. Отбор 25 кернов из готового сооружения дает выборку для суждения о прочности бето­ на в этом сооружении.

Мерой объективной возможности появления случай­ ной величины X (происходит событие А) является веро­ ятность Р{Х}=Р{А}. Если событие А происходит обя­ зательно, то его называют достоверным (Р{Л} = 1). Ес­ ли событие А никогда не может произойти, то его назы­ вают невозможным (Р{Л }=0).

Вероятность случайного события А, которое может произойти, но может и не произойти, находится в преде­ лах 1 ^ Р { А } ^0 . Вероятность Р{А} отражает опреде­ ленную, независимую от 'Проводимого наблюдения струк­ туру самого процесса, в котором наблюдается событие Л.

Законом распределения дискретной случайной вели­ чины X является совокупность ее возможных значений

1 В гл. II использовано руководство [44] и др.

21

и соответствующих им вероятностей. Этот закон может быть представлен в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения х,-, а вторая — вероятно­ сти pi (события Хи Л'2,..., Хі,..., Хп являются несовмести-

П

мыми и единственно возможными, поэтому 2 р і = 1 ) . Та-

1=1

кая таблица называется рядом распределения (табл. II.1). Для событий, которые не могут быть сведены.к си­ стеме случаев, совокупность дискретных значений слу­ чайной величины X может быть задана рядами частот

щая, как часто она встречается в совокупности Nr. Отно­

Nr

В пределах рассматриваемой совокупности сумма всех частостей, равна единице, или 100%.

Пример 11.2. При исследовании морозостойкости после 300 цик­ лов замораживания и оттаивания бетонов иа пуццолановом порт­ ландцементе и щебне из песчаника проведена [77] оценка N r= 95 ку­

бов по десятибалльной системе. Результаты приведены в табл. II.1, многоугольник распределения — на рис. II.1, о.

Функцией распределения дискретной величины X называется функция F{x}, выражающая для каждого Хі вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее Хі (—оог^сХ-ОД. Функция распре­ деления дискретной величины X постоянна на интерва­ лах, значения которых она не принимает, и имеет скач­ ки в точках, соответствующих Х{. Скачки равны вероя­ тностям, с которыми X принимает значения Хі, поэтому график F{x} имеет ступенчатый вид (рис. ИЛ, б).

22

Функция F{x) может быть задана аналитически как F{x}—P{X<iXi}. Она является неубывающей функцией

гом Хі функция распределения находится в интервале 0<^{х}<;1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале Хі=^:Х<>'2, равна прира­

Рис. II.I. Многоугольник распределения а и функция распределения б для дискретной случайной величины х (по данным примера II.2)

Пример П.З. Какова вероятность того, что бетон (по данным примера II.2) будет оценен в интервале 7—9 баллов (включи­ тельно) ?

Р (лц < X < х 2] = Р {7 < X < 10} = 0,6316 — 0,0421 = 0,5895 .

11.2. Числовые характеристики распределения дис­ кретной случайной величины. Функция распределения F{x} полностью описывает дискретную случайную вели­ чину с вероятностной точки зрения. Однако практически нередко можно ограничиться значительно меньшей ин­ формацией— знанием нескольких основных числовых характеристик распределения.

Математическим ожиданием М{Х} случайной дис­ кретной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений х,- на их вероятности рр.

П

М {X} = хгРі + *2 р% -------Ь Хп рп = 2 Xi Pi. (ІІ.2)

і= 1

23

Математическое ожидание М{Х} молено представить как центр группирования случайной величины X (харак­ теристика положения случайной величины «а числовой оси). Из определения М{Х} следуют, в частности, та­ кие его свойства: математическое ожидание постоян­ ной величины С равно этой постоянной (II.3); матема­ тическое ожидание суммы случайных величин равно сум­ ме математических ожиданий слагаемых (П.4); при изменении случайной величины X на постоянную величину С на ту лее величину изменится М{Х) (II.5); при изменении случайной величины X в С раз (C = const) во столько лее раз изменится М{Х} (II.6):

Характеристикой рассеивания случайной величины X около центра ее группирования М{Х} служит диспер­ сия D{X}, которая определяется как математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины X от ее математического олшдаиия:

D {X} = М {(X — М {X})2} = Е(+--УМ{Х})*р,, (II.7) /=і

Для наглядной характеристики рассеивания (в этом случае ее размерность будет совпадать с размерностью М{Х}) можно пользоваться среднеквадратичными от­ клонениями (допустимый термин «стандарт») о{Х}:

24