Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Удобно определить порядок нулевого ряда, положив О(0) = + оо, тогда свойства (3) будут иметь место для любых элементов из Р(z).

Из свойств ф. с. р. отметим:

1)допустимо дифференцирование ряда (которое обычно называется алгебраическим дифференцированием);

2)допустима подстановка ряда в ряд (здесь следует сде­ лать оговорку, что если исходить из принципа финитности, то на процедуру подстановки налагаются опреде­ ленные ограничения, которые будут рассмотрены ниже).

§ 2. Операционное исчисление функций целозначного аргумента

Рассмотрим совокупность P[i] функций целозначного аргумента, определенных на N, со значениями в поле Р.

Помимо операций:

1) умножения функции cp(i) на скаляр <xGP> которое определяется следующим образом:

если

?(*)=(?<>. <?1. • • • ).

ТО

ao(f)=(acp0, a»!, a<p2, . . . );

2) сложения функций, которое определяется следующим образом:

если

'f(*)=(?o> ?1» ?2» • • • ),

Ф(0= (Фо. Ч>1. Ф* • • ■)>

то

(<Р+<|'Х*)='Р(*)+ ,КО = (?0+Фо. Т1+ Ф1, Ъ+ ^2, ■■•)•>

важное практическое значение имеет операция

3) свертывания функций cp(t) и г)'(£), которое определяет­ ся следующим образом:

9

Нетрудно видеть, что P[i] образует коммутативное коль­ цо с единицей, со сверткой в качестве умножения, без дели­ телей нуля.

Следуя идее Я. Минусинского, для того чтобы обеспе­ чить во всех случаях разрешимость уравнения a(t)*x(t) = b(t), можно построить операторное исчисление в классе Р[г], расширив Р[?] до поля отношений P(t).

Однако для случая кольца P[i] целесообразнее восполь­ зоваться изоморфизмом колец Р[?] и Р[г], которое устанав­ ливается согласно соотношению для V ф(?)б Р[£]

Действительно, в соответствии с правилами сложения и умножения ф. с. р. будем иметь:

если

*=о

то для V «], «2 6 Р

“1®1 (t) + «2?2 (t) -S- a-i&i (2) + а2Фг (2),

?i (0 «"РгМ-ФДг) • Ф2(г).

В соотношении (1), которое будем называть операцион­ ным соотношением, функция <p(i) называется оригиналом, ф. с. р. Ф(г) — его изображением, а само преобразование ср(£) в Ф(г) — дискретным преобразованием.

Расширение кольца изображений P[z] до поля отноше­ ний Р(г) индуцирует расширение кольца оригиналов Р[£] до поля отношений Р(£). Очевидно, что в общем случае элементы поля Р(£) не могут быть представлены в виде по­ следовательности. Поэтому их называют обобщенными ори­ гиналами, а отвечающие им формальные ряды из поля ча­ стных P(z) — обобщенными изображениями.

Приведем несколько основных операционных соотноше­ ний дискретного преобразования.

Вначале рассмотрим изображения некоторых простей­ ших функций.

10

1. Дискретный аналог функции Дирака

п

т. е. 6(*—л) = (0, 0, ... , 0, 1, 0,.. .).

Справедливо операционное соотношение

2. Дискретный аналог функции Хевисайда

H(t—л) = (0, О,..., О, 1, 1,...).

Справедливо операционное соотношение

Нетрудно также убедиться в справедливости нижесле­ дующих операционных соотношений

Замечания, а. Соотношения (4), (6) непосредственно сле­ дуют из (3), если воспользоваться алгебраическим диффе­ ренцированием ф. с. р.

меньшие неотрицательные вычеты по mod р.

В связи с этим целесообразно отметить формулу

И

т

(modp),

где j — целая часть от деления т на р, а \ т \ р — остаток

(наименьший неотрицательный вычет) от деления т на р.

6. Если а(= (1, а, а2, ...), то

7. Если <р(£ + 1) = ср(£)+ ф(£—1) и ср(0)= ф(1) = 1, то

Z

ф(£)Ч- 1 —Z—Z2'

8. Если 0m, B(f) = (l, О,..., О, —1, О,..., О,

п

п

1, О,..., О, —1, О,..., О, 1,...),

то

9. Очевидно, что в случае, когда Р является полем комп­ лексных чисел, любая функция F(z), аналитичная в окрест­ ности точки z = 0, принадлежит классу Р[г]. Следовательно, ей отвечает в Р [it] вполне определенная функция f(t)

СО

f ( t ) ^ f kzk=F(z).

к=О

Например, [ f ) = (1 + 2>х (V^GP).

Приведем теперь некоторые простейшие правила дис­ кретного операционного исчисления, имеющие соответст­ вующие аналоги в непрерывном случае.

Пусть ф(£) G Р[*] и ф(0-^-Ф(2).

Тогда аналогом теоремы подобия является правило

аналогом теоремы запаздывания — правило

12

аналогом теоремы дифференцирования изображения — правило

(1.2.14)

аналогом теоремы интегрирования изображения (в слу­ чае, когда Р является полем комплексных чисел) — правило

Z

Ф®<Х. (1.2.15)

о

Используя правило (13), можно получить дискретный аналог известной формулы Коши

Г

2 2 ••

Чл—0

По индукции правило (12) может быть обобщено на об­ щий случай:

1 —z .71—1

ДяЧ >(0+ ( V ) " $ (2 ) г Z То-

13

Этот оператор объединяет в себе, например, ряд практиче­ ски важных типов операторов:

= Мф(?)=-^-[ф(^ + 1)+ф(0] ит. п.

Естественно, может быть определена взвешенная конеч­ ная разность высоких порядков. Например, Aaiipi;Sj>p2<p(?)=

= 'Ч .рД Д 'ч .Р , ? ( * ) ) = Да,,р, [а х ф (? + 1 )— Р )ф (0] = а 1’а2ф(’г + 2 )—

—(aiP2 + a2Pi^(f-|-l) + P i ^ ( 0 и т. д.

Нетрудно заметить, что для взвешенной конечной разно­ сти справедливо операционное соотношение

k—V4t+l 9(0).

В последней сумме слагаемые, отвечающие значениям индекса суммирования к при k = 1 и к = п, полагаются соот­ ветственно равными

Отметим также некоторые модификации правила диф­ ференцирования изображений.

Так можно получить операционное соотношение

(¥'-">^ ( ггН’ф(г)- (1'2Л7)

14

\

Отсюда, учитывая (18), из (17) получим новое операцион­ ное соотношение

каждая его компонента A t(I t) в общем случае имеет вид: 1) если Р — конечное поле, то A t (It) представляет собой

полином над Р переменных из I г;

2) если Р — поле характеристики нуль, то A t{I t) являет­ ся несингулярным отношением двух полиномов переменных

из I t.

Несингулярность отношения полиномов понимается в следующем смысле: полином, расположенный в знаменате­ ле, не равен 0 при любых значениях его переменных. В про­ тивном случае оператор А будет не всюду определенным на

Р Ш -

Из описанного класса операторов выделим для изучения два типа операторов: линейные и дробно-линейные.

Оператор А будем называть линейным, если каждая его компонента A t (It) является линейной комбинацией пере­ менных, входящих в 1 (.

Оператор А будем называть дробно-линейным, если каж­ дая его компонента A t (It) является несингулярным отно­ шением линейных комбинаций переменных, входящих в I t.

Нас будут интересовать операционные соотношения, свя­ занные с указанными типами операторов.

Вначале остановимся на структуре линейных операто­

ров.

Как обычно, общий вид линейных операторов может быть описан на языке матриц: каждый линейный оператор А находится во взаимнооднозначном соответствии с беско­ нечной матрицей А, определенной над полем Р, каждая строка которой содержит конечное число отличных от нуля элементов; так, t-я строка матрицы А содержит в качестве

15