Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 0
Поэтому
(1.3.7)
8=0
где Qg([a]) вычисляется следующим образом: если
ns
QS(W)= ^ Cf wk
k= 0
И
[a/]fe:v—(ao* ^i* a2> • • • )»
то
ns
Q s(\*])= Y c'k4,
k=0
причем многочлены Q„(w) генерируются производящей функцией
F(w,z) = 2<№)z5>
k=0
где F(w, z) определяется соотношением
СО
2и>*Р*(г) = F{u>, z).
*=o
В качестве примера найдем производящую функцию F(w, z), когда финитная матрица конечного оператора пред ставляет обобщенный треугольник Паскаля, т. е. имеет вид
аоо 0 |
0 |
0 |
1 |
|
«10~>ап |
0 |
0 |
|
|
а го >а21~^°22 |
0 |
|
||
|
1 |
|
|
|
«зо -+а31-+а,32-^«зз |
• |
|||
|
1 |
1 |
|
|
°40 |
^ a n ->ai2->a43 . . . |
|||
1 |
Ф |
1 |
|
|
1 . |
Y |
. . J |
||
|
|
. |
||
где элементы первого столбца и главной диагонали опреде ляются из разложения
20
СО
A 0(z)= 2 a*oZ*, *=0
00
Ax(2)= 2 * 2*>
i = 0
а остальные элементы заданы рекуррентным соотношением
оп>*=«„_!, j.-x+cv-i, k , га>2, 1<й<ге—1.
Ясно, что Fo(z)=A0(z). Определим Fi(z).
со
Имеем F! (z) = zFx(z)= a 1д z-j- 2 «л, 1 z".
л=2
Далее воспользуемся рекуррентной зависимостью коэффи циентов рассматриваемой финитной матрицы, тогда полу
чим zFi(z) = (ац—a00)z+ z A 0(z) + z2F,(z).
Следовательно, Fi(z) = Aa0o |
+ |
j - ~ |
A 0(z). |
|
||
Полагая F n(z) — znF n(z), по индукции получаем |
||||||
F n(z)= ДЯп—!, n—i* |
+ |
j ^ F n_i(z) |
||||
И Л И |
л—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
* n \Z )— |
— У Д в |
___ -____ |
, |
___Ao{z)' |
||
1 — z A * |
a a *s (1 -г)'»— 1—® i~ (1 — z ) n |
|||||
Отсюда |
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
~ , w |
чъ |
(.l—z ) A t ( z ) + ( l —w z ) A 1(wz) — a{ |
|||
F(w, z ) = Z F *(zXwzy = |
--------------- i - z(i +u>)------------ |
|||||
*=0 |
|
|
|
|
|
|
В частности, в случае классического треугольника Пас |
||||||
каля имеем |
A q(z) = A i(z)— |
—, поэтому производящая |
||||
функция треугольника Паскаля имеет вид |
|
|||||
F(w, z) =
Рассмотрим теперь два важных типа операторных соот ношений.
Первое из них возникает в связи со следующей задачей. Пусть заданы: операционное соотношение <D(z)-r-q>(f) и по
следовательность ф. с. р. F k(z) — h(z)gk(z) (A,(z)6P[z]), поряд
21
ки которых образуют ограниченную возрастающую после
довательность.
Требуется выяснить структуру линейного оператора G, удовлетворяющего условию A,(z)(D(g(z))-^(r<p(t).
Как видно, порядки ф. с. р. F k(z) = 'k(z)gk(z) образуют ограниченно возрастающую последовательность тогда и только тогда, когда 1^0(g'(z))< оо. Поэтому можно полагать,
что g(z) = z mg0(z), где
|
£0(2)еРМ , m = 0 (g(z)). |
|
Рассмотрим |
два приема формирования |
оператора G, с |
различных сторон раскрывающих структуру оператора. |
||
Очевидно, |
00 |
|
|
|
|
|
Ф(2^ ( 2 ) ) = 2 ^ тАЯой(2). |
<1.3.8) |
|
*=0 |
|
Отсюда следует, что матрица G имеет треугольную фор |
||
му. |
некоторые закономерности |
формирования |
Установим |
||
элементов ее столбцов, которые определяются порядком фор мирования коэффициентов ф. с. р., полученного возведени ем в fe-ю степень ф. с. р. ga(z).
Пусть w(z) = go A(z).
Требуется вычислить коэффициенты (w0, wi, w2,...) ф. с. р. w(z). Для этого воспользуемся рекуррентным приемом, кото рый состоит в переходе от рассматриваемого равенства к его логарифмической производной
|
|
|
w'G) |
, g'p(z) |
|
|
|
|
|
w(z) |
g0(z) * |
|
|
Так |
|
как £о(0)=т^0, то |
r,z \ |
разлагается |
в ф. |
с. р. вида |
|
** (г)- |
|||||
g° |
|
= a0 + aiz + a2z2+ ... |
|
|
|
|
go(z) |
|
|
|
логарифмические |
||
|
Поэтому соотношение, связывающее |
|||||
производные, может |
быть |
представлено как |
fe(a0 + aiz + |
|||
+U2Z2+ .. .){w0+ wxz + w2z2+ .. .) = Wi + 2 w2z+ S w3z2+ ...
Отсюда для вычисления искомых коэффициентов полу
чаем рекуррентное соотношение
t
(t + l)ir(+1 = * 2 at-sU>s |
(1.3.9) |
s « О
с начальным условием Wo= gk(0).
22
Матрица G имеет следующую |
структуру: а) матрица |
||
G — треугольная; |
б) столбцы, номера которых не кратны |
||
7п, — нулевые; в) столбцы, номера которых п кратны т, |
со |
||
держат элементы, |
являющиеся |
коэффициентами ф. с. |
р. |
zmkg0k (z), где
Рассмотрим теперь второй прием. С этой целью заметим, что в силу (8) оператор G задается ^-последовательностью
F k(z)=\(z)zk” g0k(z) (*=0, 1, 2,. . .).
Тогда в силу (7)
G[?(£)]fe7v-*- 2 <3ЛИ ) 2s
8—0
где полиномы Qs(w) порождаются производящей функцией
/гч
l —wzmg (2) >поскольку в соответствии с (5)
2 |
Pk(z)wk = * (г) 2 wkzkmg0k(z) = i ~"wzmgo{z) . |
s=o |
*■=о |
Итак, справедливо правило: если ф(£)-^Ф(;г), то для V Цг), g(z) 6 P[z] при условии 0 (g(z))^l справедливо
(1.3.10)
где многочлены Qt (и>) порождаются производящей функци ей
Чг) |
2Qk(w)zk- |
(1.3.11) |
1—wg(z) |
||
|
k=0 |
|
Замечание. Сравним приведенные два вывода. Достоин ство первого состоит в том, что он позволяет непосредствен но усмотреть структуру матрицы G. Недостатком его явля ется то, что в силу соотношения (9) в общем случае не ясно, как распространить соответствующие выкладки на поле простой характеристики. Второй же вывод не позволяет сде лать каких-либо заключений о структуре матрицы G, одна ко преимущество его заключается в том, что он остается справедливым для поля Р произвольной характеристики.
Рассмотрим несколько примеров.
23
пр и м е р |
1. Покажем, что в дополнении |
к соотноше |
нию (10) справедливо соотношение |
|
|
|
4z)g(zm g{z))+Q 't( m ) , |
(1.3.12) |
где Q't(iv) = |
(ы>); |
|
E(f — оператор смещения.
С этой целью продифференцируем по и> соотношение (11), тогда будем иметь
Чг)ё(г) |
2 <2'ЛФ*- |
(1.3.13) |
(1—wg(z))‘2 |
||
|
t= о |
|
Кроме того, |
|
|
00 |
|
|
= 2 ((* -f 1)X (z)g(z))gk(г) wk |
(1.3.14) |
|
а= о |
|
|
и |
|
|
о: |
|
|
1 ( г ) |( г ) Ф '(§ ( г ))= ^ н 1 Р + l)X(z)£(2))g*(2). |
(1.3.15) |
|
А—О |
|
|
Сопоставляя (15) с (14) и учитывая (13), заключаем о спра
ведливости (12). |
Найти изображение функции целозначно- |
||||||
П р и м е р 2. |
|||||||
го аргумента А* |
? |
ср(0), если известно, |
что ф(£)4-Ф(;г). Здесь |
||||
Д«,р ф(0 = аср(^+1)— Рф(0 - |
|
|
|
|
|||
Обозначим |
через |
P„(u;) = (aw—р)п. Очевидно, что |
|||||
Р п ([ф ]) = А*; р Ф(0). |
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
Ф |
- |
Р)*2* = T+pF *1 |
5Г~~ |
|
||
*=° |
|
|
|
|
1 “ |
T+pF " |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
• г _ |
1 |
_ |
-у |
(аг)* |
к |
l+pz |
. аг |
и — £ о (1+рг)*+1 w ’ |
|||||
то справедливо |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
1. |
|
00 |
|
|
|
V |
|
(аг)* |
|
<р(*) = |
2 Аа 0 »(0)2*. |
(1.3.16) |
|
|
(1+Pz)*+1 |
||||||
|
|
А=0. |
|
|
|||
24
Отсюда заключаем, что |
|
|
|
|
||
|
Д* |
КО)-* |
1+рг |
Ф |
(1.3.17) |
|
|
|
|
|
^ 1 l+ p z \ • |
|
|
|
Замечание. Если |
в |
соотношении (16) |
ввести замену |
||
г = |
W |
|
|
|
|
|
а—$йГ’ то П0ЛУЧИМ равенство |
|
|
||||
|
ю |
|
|
СО |
|
, |
|
сс(й)ц) |
= |
я_^и) 2 Да> p«p(0) |
^ , |
||
|
S-0 |
|
|
ft=0 |
v |
^ ' |
которое является обобщением на случай взвешенных раз ностей известного преобразования Эйлера слабосходящихся рядов [113].
Отметим также, что если переписать последнее равен ство в терминах переменной z (вместо w), тогда оно пред
станет в виде |
|
|
Ф(в) = а 2 |
А* Р КО) (а_11*ТГ. |
(1.3.18) |
к—О |
|
|
Учитывая, что |
|
|
(я—[3z)*+1 |
‘ Яр* Vя / [ к ) ’ |
|
заключаем, что соотношению (18) в пространстве оригина лов отвечает соотношение
которое является обобщением разложения функции <p(f) в ряд Ньютона в случае, когда используются взвешенные раз ности (при а = р= 1 разложение (19) принимает вид обычно
го ряда Ньютона).
Второй важный тип операционного соотношения возни кает в связи с решением следующей задачи. Пусть известны операционные соотношения г|з(?)-Ьг|)(;г), q>(t)-i-0(z). Требует ся найти изображение, отвечающее произведению оригина
лов -ф(£)ф(г).
Если зафиксировать a|?(f)» то произведение о|)(?) • ф(£) может рассматриваться как линейный оператор, финитная матрица которого имеет диагональный вид (по диагонали расположены элементы г|)(0), ^(l). “Ф(2),.. .)•
25.