Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Бесконечные матрицы указанного типа будем называть финитными.

П р и м е р . Пусть компоненты оператора А имеют вид

A(j(Io) = fooxo + foiX^IQ= {х0, Х4}),

A \ ( l \ ) = f\QXQ + f \ 2X2+ f 14X4(1.1 = {Xq, Х2, Х4}),

А 2 Ц 2 ) = /20^0 + / 2 1 X 1 + /22-^2 + / 24* 4(^2 = {Хо, Х ь Х2, Х 4 }),

тогда действию оператора А на последовательность [х t]teN — = (х0, Xi, Х2, ...) отвечает матричная операция: умножение финитной матрицы на вектор-столбец

Рассмотрим вторую форму представления конечных ли­ нейных операторов, имеющую непосредственный интерес для дискретного операционного исчисления.

Сопоставим каждому столбцу финитной матрицы опера­ тора А формальный степенной ряд. В итоге получим не бо­ лее чем счетную последовательность ф. с. р.

По построению каждой финитной матрице отвечает одна и только одна последовательность вида (1), которую будем называть ^последовательностью оператора А.

Достоинство представления линейных операторов 2-по­ следовательностями состоит в том, что на языке таких по­ следовательностей легко осуществляется операционная трактовка действия оператора А на элементы пространства

В пространстве ф. с. р. бесконечный ряд (2) имеет вполне определенный смысл, так как он подчинен принципу финитности, который выражается в данном случае в том, что в процессе приведения подобных членов при одинаковых сте­ пенях 2 коэффициенты результирующего ф. с. р. исчисля­ ются посредством конечного числа арифметических опера­ ций над элементами поля Р.

16

Из изложенного следует, что конечные линейные опера­ торы, определенные над пространством оригиналов, могут быть единственным образом описаны в пространстве изоб­ ражений посредством 2-последовательностей.

В связи с этим исследуем некоторые свойства 2-последо- вателькостей.

Введем определение: бесконечную последовательность целых неотрицательных чисел будем называть ограниченно возрастающей, если каждое целое число встречается в ней не более чем конечное число раз.

Из определения 2-последовательностей непосредственно следует утверждение: последовательность ф. с. р. F0(z), Fx(z), Fiiz),... является 2-последовательностью некоторого линей­ ного оператора тогда и только тогда, когда порядки членов этой последовательности образуют ограниченно возрастаю­ щую последовательность целых чисел.

Покажем, что совокупность всех 2-последовательностей образует коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.

Очевидно, последовательность {1, 0, 0, 0,...) является 2-последовательностью. Здесь нулевые элементы рассматри­ ваются как ф. с. р. бесконечногб порядка. Указанной 2-по­ следовательности отвечает оператор проектирования прост­ ранства Р[£] на лго-ось.

Нам нужно показать, что сумма двух любых 2-последо­ вательностей и их произведение (свертка) также являются 2-последовательностями. С этой целью отметим несколько свойств ограниченно возрастающих последовательностей:

а) для того чтобы последовательность целых чисел была ограниченно возрастающей, необходимо и достаточно, что­ бы любая ее подпоследовательность не была бы стационар­

ct=min{o/, bt}

или

c/=m in{at-*+bs), о<«<t

являются ограниченно возрастающими.

Первые два свойства непосредственно следуют из опре­ деления ограниченно возрастающих последовательностей целых чисел.

I научно-тсхн1;чсс*г>.я

Переходя к третьему свойству, докажем вначале его

первую часть.

Предположим, что последовательность целых чисел \ct\tQN не является ограниченно возрастающей, т. е. что существует стационарная подпоследовательность [с*.] : ску —

из которых хотя бы одна бесконечная. Последнее противо­ речит тому, что последовательности целых чисел [at] и \bt\ ограниченно возрастающие.

Аналогично предположим, что последовательность це­ лых чисел [c't] не является ограниченно возрастающей. Тогда существует хотя бы одна ее стационарная подпоследо­ вательность с'ку — с'ку = ... =с', что эквивалентно системе

i < Aj.

Последняя система равенств может быть переписана а

Из (а) следует, что любая подпоследовательность огра­ ниченно возрастающей последовательности целых чисел является ограниченно возрастающей, следовательно, под­ последовательность [Ь8.] является ограниченно возрастаю­

щей, поэтому найдется такой достаточно большой номер sir

что Ь— >с. Последнее противоречит тому, что последова-

8i

тельность [а к] ограниченно возрастающая.

Теперь утверждение, что совокупность 2-последователь­ ностей образует кольцо, вытекает непосредственно из систе­ мы неравенств, связывающих порядки компонентов операн­ дов:

0(-F*±G*)>min[0(J?*), 0(G*)j,

o f 2 Fk-,-‘G .) > min [0(2?»_)+0(G.)J.

Для того чтобы точнее описать кольцо 2-последователь­ ностей, воспользуемся соотношением (2), полагая в нем a(t) = wf. Тогда каждому линейному оператору А соответ­ ствует (взаимно однозначно) выражение

00

В силу изложенного выше это выражение может рас­ сматриваться как элемент, обозначаемый символом F(w, z), кольца формальных степенных рядов, изоморфного кольцу 2-последовательностей.

Указанный элемент F{w, z) при фиксированном значе­ нии шеР может рассматриваться как элемент пространства изображений Р[г] и согласно принципу финитности может быть представлен в виде

Из приведенного тождества непосредственно следует: 1) для того чтобы элемент F(w, z) кольца ф. с. р. над

полем Р при разложении по степеням w производил 2-после- довательность (F0(z), Fi(z), F2(z),...), необходимо и доста­ точно, чтобы разложение F(w, z) по степеням z генерирова­ ло последовательность многочленов Qo(w), Qi(w), Q2(w),...

относительно w;

2) кольцо 2-последовательностей изоморфно кольцу ф. с. р. над кольцом многочленов.

Таким образом, следующие кольца: кольцо конечных линейных операторов; кольцо финитных матриц; кольцо 2-лоследовательностей; кольцо формальных степенных ря­ дов над кольцом многочленов изоморфны.

Кроме того, из соотношения (5) в силу (3) и (2) следует,

что

со со

19