Файл: Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике.pdf

Скачать файл (4,95Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 55

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Глава 1

должна быть тензором (вектором), что и предполагается в дальнейшем. Тогда к дивергенциальному члену в подын тегральном выражении в (1.2.3) применима ковариантная форма теоремы Гаусса

8W = ± J-J^-6Ferf<34’* + i	(	z4=n0aSFe dfa = 0. (1.2.5)
А 9	(Л)	Vs

Здесь тензорный элемент гиперповерхности dfa следую щим образом определяется через дуальный ему элемент внутренней ориентации dViih\

dfa = ^-^aUhdVi}h.

(1.2.6)

Псевдотензор Леви-Чивиты r) eaijh связан с символом Леви-Чивиты AaiJk соотношением

®aijh ~ \'/Го А аijk •

Вследствие (1.2.2) интеграл по гиперповерхности в (1.2.5) обращается в нуль, и принцип Гамильтона запи сывается в виде

№ = -	с	[ 4 ^ -^ V ed u>x = 0.
	с	J 6Ve
		Vi

Необходимым условием равенства нулю этого интеграла является выполнение уравнений Лагранжа

играющих роль уравнений поля.

Интересно отметить, что добавление к функции Лагран жа члена, имеющего вид обычной частной дивергенции,

3) Термин «псевдотензор» перегружен разными смысловыми оттенками; может быть, лучше было бы говорить «аксиальный тен зор» (хотя для тензора валентности 0, если добавить к ней аксиаль ные свойства, и общепринято обозначение «псевдоскаляр»!). Тогда символ Леви-Чивиты был бы плотностью [веса (— 1)! аксиального тензора. Хороший (хотя и несколько сухой) обзор тензорного аппа рата с учетом «псевдотензора» Леви-Чивиты с изложением теорем типа Гаусса и дифференциальных операций читатель найдет в книге Я. А. Схоутена [18].— Прим, перво.

Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 21

не меняет уравнений поля, если фигурирующая в ра венстве

#(TV TV а, :сй)= £(Ув, Ve,a, xb) - Q a.a (1.2.8)

величина Q“ обладает функциональной структурой:

0 “ = 0° (TV V&. ь, *')■

Действительно, непосредственное вычисление показывает, что имеет место тождество г)

^ -	= 0,	(1.2.9)
из которого следует
ЫЁ	835	_ п
6F0 -	5Ve

§ 3. Теорема Нетер

Мы отойдем здесь от первоначальной формы, в которой Нётер [1] рассматривала эту теорему с точки зрения абстрактной теории групп, и специально приспособим ее математическое выражение к потребностям физики.

Понятие, которое лежит в основании теории, развитой Нётер,— это понятие преобразования симметрии. Мы бу дем понимать под ним такое преобразование (вообще говоря, и преобразование координат и функциональное преобразование), относительно которого данная лагранжева плотность Л обладает свойством

Л (TV, TV, a ' ^ V l =Л(Ув, TV a, Xb) V g - Q a, а, (1.3.1)

где <Эа — векторная плотность веса 1, обладающая функ циональной структурой

__________	6 я = 0 ° (TV TV хь).
*) Поскольку	величина Qa зависит от Ve ь, ее дивергенция

в (1.2.8) зависит и от F0 ь с; поэтому в данном подходе, исключаю

щем применение вторых производных в лагранжиане, нельзя включать в £3“ вторые производные полевых функций. Отметим, од нако, что обобщение на случай таких высших производных весьма просто.— Прим, перев.

22	Глава 1
Преобразование	симметрии приводит, таким образом,

к форм-иивариантностп лагранжевой плотности, если отвлечься от дивергенциального члена и влияния метрики.

Умножая (1.3.1) иа dl4\v с учетом формулы преобра зования

У g d(i)x = У g' di4)x’ ,

получаем при иитегрироваиии по У4

Ve-,a; xh’)d ^ x' =

V i

= JX (Ve, Ve, a, x b) d<*>X-	j Qa, a d^X-
V i	Vi

Поскольку величина 0 я по предположению является векторной плотностью веса 1, последнее слагаемое по теореме Гаусса коварпантным образом переводится в ин теграл по гиперповерхности, а так как на (Г 4), соглас но принципу Гамильтона, полевые функции закреплены, мы получим х)

б J X (t v , t v , a', Xb‘) d'*>x' = fi J X (Г0, F0, a, xb) d<«x = 0.

Отсюда следуют форм-ннварнаптность уравнений поля относительно преобразований симметрии:

6 Г 0 ,

В дальнейшем иас будут особенно интересовать беско нечно малые преобразования симметрии, для которых вследствие (1.1.13) пз (1.3.1) вытекают соотношения

X (V e', Ve'.a', xb' ) { l + l n.a) = X (V e, Ге, a, Xb) — 0 a, a

и, наконец,

Д 2 -| - 2 W , = - 0 a a.

(1.3.2)

*) Закрепленными на границах области интегрирования потен циалы полей будут лишь в смысле собственно варьирования, тогда как координаты па этих граппцах, конечно, ire закреплены (иначе, например, были бы невозможны все существенные в физике пре образования, такие, как сдвиги н повороты).— Прим, перев.

Непрерывные симметрии в общерел. класс,			теории поля 23
Подставляя сюда разложение		(1.1.10),	мы приходим
к теореме Нетер в форме
■щ SVe+ [ПеабП0], а +	(A.Ve -	Ve. mVn)+

'-h[n0aAs7 0 + r 4 W - n ea70,m) + (9“I.a = O. (1.3.3)

Кроме того, величину Оа можно разбить на слагаемые

0 " = 60°-}-0| а,

(1.3.4)

относящиеся соответственно к функциональным и коор динатным преобразованиям, что охватывает все практи чески интересные случаи. Если при этом учесть тот факт, что координатные и функциональные преобразования по определению не зависят друг от друга, то мы получим два конкретных выражения теоремы Нётер:

щ - б7е + [П9п6Уе + 60"], 0 = 0

(1.3.5)

щ - ( А - Ve. » П -г [ПеаА5Уе +

+ Г {Xgma- П0аЕе, т ) + О Д , „ = 0. (1.3.6)

§ -L Разложение полного поля па .петричееиое

ипеметрическгье поля

Вэтом разделе мы переформулируем только что выве денную теорему Нётер для частного случая, охватывающе го ее физические приложения и утверждающего, что полное поле составлено из метрического поля gab и неме трических полей Uq:

ут ьаЬ

У 0

^ и а '

где

(tfo) = (£7lt U* . . . , Ujj).

Глава 1

Таким образом, через N обозначается число независимых неметрических полевых функций. Так как прежде число всех вообще независимых полевых функций было принято равным N , то имеет место соотношение

N = N + 10,

ибо, как известно, метрический тензор обладает десятью независимыми компонентами gab. В дальнейшем прини мается, что прописные греческие индексы Й, Г и Л пробе

гают значения от 1 до N .

Вводя естественные обозначения
Лтпа= ~ - -	и Пйа=	^ ^ ,	(1.4.1)	>
dgmu.a		dUQa	4	>

перепишем конкретизированные формы теоремы Нётер

(1.3.5) и (1.3.6) в впде

^	г 8 ^ + ^ в с ; 0 + [п “ -бй ,„ +
и		+ ППаб£/п -1-бО“].а = 0	(1.4.2)
и
4 г ~ (^Srnn ~ Smn, гГ) +		Ш - (AsUnUa, г1Г) +
°втп		ОUq
	+ [ПтпвД,£тп + ПйаAs?7q+
+	Er (Xgra- п mnagm,u Т-	Пйа Ua, г+ 0 ? га)1. а = о.	(1.4.3)

Уравнение (1.4.2) уже имеет тот вид, который нам будет нужен в дальнейшем; второе же уравнение еще нуждается в^преобразовании.

| Учитывая равенства (1.1.3), из законов преобразования тензоров получаем следующие соотношения для полевых функций (если последние — тензоры):

ДsUm= - U rl r, m, Д.Е7т = 17'Г\г,

A sSmn —•	grnЕ . тп	gm r\ , п,
Аа^' =	/ (Е3.г -Ы Е ‘,г,		(1.4.4а)
Asgmn= 0, b sg = - 2 g l m, m,		Д8 In ]/~g= — \|m, m.

Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 25

Для полевых функций более общей геометрической при роды бесконечно малые преобразования задаются сле дующим образом:

A.Uа= - 5 Л Uvla, ь- SQal\

(1.4.46)

где указанная геометрическая природа величин отражена в коэффициентах S ^ a 1)- Коэффициент же Saa в члене, пропорциональном |а, добавлен для наиболее общей фор мулировки теории 2). Известно, что таким образом пре образуются галилеевы координаты при неоднородных пре образованиях Лоренца. В случае тензора валентности 1 (вектора) сравнение с предыдущими уравнениями дает, например,

SQa = 0,

Sdcba=--gdbgac.

' (1.4.5)

Подставляя выражения (1.4.4) в (1.4.3), мы получили бы почти необозримое выражение. Поэтому введем обозначе ния

Г ? = %gta- n Qa и Q, t -		n m"°gro„, t-
- w	Z	s f ‘ V
И
T ian =	— TLQa SQrmtUv - m mnagin,		(1.4.66)

x) Это фундаментальное выражение играет важную роль в опи сании геометрических объектов весьма широкого класса. Так, если отбросить здесь последний член, то оно описывает законы преобра зования, в частности, всех тензоров и нх плотностей (любого веса). Анализируя операцию дифференцирования Ли [см. формулу (1.1.4) и далее], легко распространить определение ковариантной произ водной с обычного вектора на тензор произвольной валентности или его плотность произвольного веса:

^ ; a = ^ , a - V b^ r { aCb} -

Этим, конечно, применения закона (1.4.46) не исчерпываются.—

Прим, перев.

") Для более общей записи теории естественно предположить также наличие в инфинитезимальном законе преобразования типа (1.4.46) члена, пропорционального £“l(b с. Так преобразуется, напри мер, связность (символы Кристоффеля), если рассматривать ее независимо от метрического тензора, что характерно для принципа Гамильтона в формулировке Палатини.— Прим, перев.

26 Глава 1

при которых (1.4.3) принимает вид

I1[ [ Т ? +			&gta+		~8 Х	SQ?«tUr +
+ “		a?mab,ntJ .«			бgmnt‘mn’ t
6-5?		tj	ттОя	о		д Х
W	7 Uq’ (~ и			bm' a'		dUr >HtJ -
	'Я
Н -^ .т [Г ,т + © ^ т - П 0т5 и +
		+	Г Г ,	„] + Ег, ni, or <'mo, = 0. (1.4.7)

Здесь круглые скобки у индексов обозначают взятие сим метричной части величины по этим индексам (симметризующне скобки Баха). Вследствие независимости и произ вольности и' н их производных отсюда следует

{ у , « + s s,“ - n ° "	s m + Щ - S0r ,,c r + 2 J g - &„ }		о -
8Х		8 Х
	gmn, t ' Wo (U0-,t + S0l) = 0,		(1.4.8)
Г Г +	Qgtm-	UamSDt -!- Т Г \ a= 0,	(1.4.9)
		7/7m“>= 0.	(1.4.10)